"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
25.b) Déterminons: lim n " (1 + ~)!
11-+oo
n
k=I
25.c)
Ona:
On reconnaît une somme de Riemann :
ri
(
k)
l'
lirn L ln l + - =
ln(l + t) dt
11--Hoo k= l
n
0
= [(t + 1) ln(l + t) - (t + 1)]6
= 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - l
Par continuité de la fonction exponentielle, il en résulte :
n (
k)!
4
1 im n 1 + - = e2 l n 2-1 = -
11--.+oo
n
e
k=I
11 sin(klr) cos ( krr )
Déterminons : lim '\"'
311
311
•
11-->+oo L..J
n
k=I
On a :
11
(br) (br)
11
l (2kn)
~sin 3 n cos 3 n = ~ l sin 3n
On reconnaît une somme de Riemann :
.
1 I" 1 . (2kn) 1 [lf . (2 t)
hm -
- sm - - = -
sm - dt
n ->+oo n
2 7r
3 n
2 n 0
3
k=I
= _l r ' -~ COS (2')17r
2n 2 3 0
= 2_ (1 + ~)
47r
2
9
=
8 n
26.a) On a:
- t2
1 -r2
1
1
J
[
]'
L te dt = - 2 e o = - 2 e + 2
26.b) Déterminons: Jim Ix t e-t2 dt .
X->+oo I
Ona :
te-t2 dt= -- e-t2 = -- e-x + -
I
X
[ 1
]X
1
2
1
1
2
1
2
2 e
Or: lim e-x
2 =O. JI en résulte: lim I x te-r
2 dt = -
1
- .
X -> +oo
X -.+oo 1
2 e
467
Il\
~
~
u
- n:s
u