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(Afi n de simpli fier les calculs, on primitive t H t - k - 1 part H ~ (t - k - 1)
2
, qui
présente l'avantage de s'annuler en t = k + 1, et se calcule aisément en t = k + ~ .)
II en résulte :
I
k+~
f(k + 1) 1
k
f(t)dt;;i:
2
- 3/'(k + l)
24.c) II ne reste plus qu' à som mer les inégalités précédentes pour k = 1, ... , n - 1 :
•••
25.a)
466
( n f(t) dt~ /(1) + /(2) + /(3) + ... + f(n - 2) + /(n - 1) + f(n) - I /'(k) - f'(k + 1)
J1
2
2
k= I
8
i1- I. f'(k) - j'(k + 1)
, ,
.
L
8
est une somme telescop1que :
k= I
f /'(k) - f'(k + !) = f'(l) - f'(2) + f'(2) - f'(3) + f'(3) - ... + f'(n - !) - f'(n)
k= l
8
8
=
f'(l) - J'(n)
8
(On peut aussi retrouver ce résultat en séparant les sommes, et en effectuant un changement d 'indices:
Ï /'(k) - f'(k + 1) =
k=)
8
Il
f'(k) 11-l f'(k + 1)
I-s -I s
k=l
k=I
11- I. J'(k)
n j'(k)
I - 8 - I - 8
k= I
k=2
=
/'(1) n- 1 J'(l) 11 - I J'(k)
J'(n)
=-+ I - -I - -8
k=2
8
k=2
8
8
=
f'(l) - J'(n)
8
n
Déterminons : lim ~
2
n
2
.
11-> +oo L.i k + 3 n
k= I
Ona :
1 . L11
n
1·
1 L " 1
im
= lm -
2
rH+OO
k2 + 3 n2 11->+00 3 n
Ji_ + 1
k= l
k= I 3 112
On reconnaît une somme de Riemann :
lim -
1 f-1 __ = ~ (
1
-
1 - dt
i1->+oo 3 n L.i k2 1
3 Jo !... 3 2 + 1
k=I J;i2 +
= ~ [ Y3 arctan ( ~) J:
1
( 1 )
= Y3 arctan Y3
1 1T
=
Y3 6