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La fonction .f étant convexe, sa courbe représentative est située en-dessous des cordes
joignant les points de coordonnées (k,f(k)) et (k + l,f(k + 1)) : ainsi, l'aire située
sous la courbe entre k et k + 1 est plus petite ~ue l'aire du trapèze (k, 0), (k + 1, 0),
(k + 1,f(k + 1)), (k,f(k)), dont l'aire vaut f(k)+{('+I) (la hauteur vaut 1, les deux bases
ont pour longueurs respectives f (k) et f(k + 1)) :
[
+I f(t)dt ~ .f(k) + f(k + 1)
k
2
On somme alors ces inégalités de 1 à n - J :
11- l [ + I
11- l f(k) + f(k + 1)
Li f(t)dt~I ---k=I
k
k=I
2
soit:
I
1
f(t)dt ~ :f /(k) + f(k + l) = /( l ) + /(2) + ... + f(n - 2) + f(n - l ) + /(n)
k=l
2
2
2
(Les termes con-espondant à k = 1 et k = n n' apparaissent qu'une seule fois, le ~ reste
en facteur de ces termes. Pour les autres (2 ~ k ( n - 1 ), ils apparaissent tous deux fois.)
24.b) De par la convexité, la courbe représentative de f est située au-dessus de (toutes) ses
tangentes.
En particulier, elle est située au-dessus de sa tangente en k, pour tout entier k de
{l , ... ,n - 1}.
Ainsi, pour tout t de r k, k + ~ l :
/(t) dt ;;;:: /(k) + (t - k) !' (k)
On intègre alors cette dernière relation entre k et k + ~ :
1
1
r k+ 2 f(t)dt ~ f(k) + J'(k) r~ (t - k)2]k+2
Jk
2
2
k
(Afin de simplifier les calculs, on primitive t H t - k par t H ~ (t - k)
2 , qui présente
l'avantage de s'annuler en t = k, et se calcule aisément en t = k + -4.)
Il en résulte :
1
r k+ 2 f
Jk
2
8
De même, la courbe est située au-dessus de sa tangente en k + 1, pour tout entier k de
{l, ... ,n - 1}.
Ainsi, pour tout t de [k + 4, k + 1] :
f(t) dt ;;;:: f(k + 1) + (t - k - 1) f' (k + 1)
1
On intègre alors cette dernière relation entre k + 2: et k + 1 :
[
+f
f(k + 1)
[ 1
] k+l
f(t) dt~
+ !' (k + 1) .:... (1 - k - 1)
2
k
2
2
k+!
2
465
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