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WJW Pour tout entier naturel n, on pose :
23.a) On calcule :
Io= [ dx = e - 1
1 .
I 1 = [ln x dx = [x ln x - x]~ = e ln e - e + 1 = 1
23.b) Pour tout entier naturel n:
I n+ I =
[ (ln x)'i+l dx
[
1
=[x(lnx)
11
+
1
]: -
1
x(n+l)~(lnx)"dx
=
e - [ (n + 1) (ln x)" dx
=
e - (n + l)In
(On a intégré par parties.)
23.c) Pour tout réel x de l'i ntervalle [l, e] :
(ln x)'1 ;;:i: 0
et donc, pour tout entier naturel n :
(ln x)" ;;:i: 0
On en déduit, par positivité de l'intégrale :
le (lnx)" dx ;;:i: 0
Comme In+ 1 = e - (n + 1) In ;.: 0, on obtient aussi :
I _ _ e _ _ In+l ~ _e_
11
-
n + 1 n + 1 "' n + 1
23.d) Déterminons la limite, lorsque l'entier n tend vers +oo, de In.
Comme
.
e
hm - - =0
11--Hoo n + l
on en déduit, grâce au théorème des gendarmes :
Iim I 11 = 0
11--t+oo
WJI Soit f une fonction de classe C
1 sur R+, à valeurs positives, convexe.
On rappelle que le graphe d'une fonction convexe est situé au-dessous de ses cordes, mais audessus de ses tangentes.
24.a) Pour tout entier n ;.: 2 :
/(l) + f(2) + /(3) +
+ f(n - 2) + f(n - 1) + f(n) = ~ /(k) + f(k + l )
2
. . .
2
L.J
2
k=I
464