"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
(/1 vaut 1.)
= (2 p) X (2 p - 2) X ... X 2 X 1 li
(2 p + l) X (2 p - l) X ... X l
2P p!
= - - -- - - - - - - / 1
(2 p + 1) !
=
=
=
(2 p) X (2 p - 2) X ... X 2 X 1
2P p!
(2 p + 1) ! 11
2P p !
(2P p !)2
- - - - /1
(2 p + l) !
4p (p !)2
(2 p + 1) !
22.d) Pour tout entier strictement positif p, et tout x de [ 0, ~] : 0 ~ sin x ~ 1.
Par suite: 0 ~ sin 2 p+I x ~ sin 2 P x ~ sin 2 p- I x.
En intégrant entre 0 et~· on en déduit:
Û ~ fip+I ~ /zp ~ /zp-1
22.e) En divisant membre à membre l'inégalité précédente par /zp+I (qui est non nul) , on obtient:
soit :
/zp
2p+I
) ~ -- ~ -/zp+I
2 p
Il suffit ensuite d 'appliquer le théorème des gendannes, qu i conduit à:
lim !3.L = 1
p 4 +co /2 p+ J
22.t) On a:
l2p
(2p)!
(2p+l)!
rr(2p+l)((2p)!)2
rr(2p+l)((2p)!)2
22.g)
- - =rr
= -
=
/zp+I
22p+I (p !)2 4P (p!)2
2
24P (p !)4
2
24P (p !)4
/zp
Comme lim - - = l ,onadonc:
p--t+oo /zp+I
puis:
et:
Comme:
il en résulte :
lim ~ (2p + 1) ((2p) !)2 = 1
p--t+oo 2
24 p (p !)4
.
(v +t)((2p)! )2
hm rr
= 1
p--++oo
24 p (p ! )4
1
.
24p (p !)4
p2T"" ( 1)
p+2 ((2p)!)2
=rr
.
24" (p !)4
.
24p (p !)4
hm
= hm
p--t+oo (
] )
2
p-c++co p ((2 p) !)2
p+2 ((2p)!)
.
l 24p (p !)4
rr= hm - - - -
p--++co p ((2 p) !)2
463
Il\
~
~
u
- n:s
u