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u
=
fn-2 - l~ Sin
11
-
2 X COS X COS X dx
[
1
0
]~ 1 l~
= / 11 _2 - - - sin
11
-
1 x cos x + - -
sin"1 x (- sin x) dx
n - 1
0
n - 1 o
l
1 L~ . , , d
11-2 - - -
SJn X X
n - I 0
l n
111-2 - - -
n -1
=
=
(On a intégré par parties dans la seconde intégrale, fo~ sin'
1
-
2 x cos
2 x dx
1
x H sinri2 x cos x est la dérivée de x H - - sin
11 -
1 x.)
n - 1
II en résulte : (1 + - 1 -. ) ! 11 = ! 11 -2, soit : _n_ ! 11 = ! 11 -2.
n - 1
n -1
Par suite:
n - 1
!,, = - - f,,_ 2
n
22.c) Pour tout entier naturel p :
l2p =
(2 p - 1) l
2 p
2p-2
=
2 p - 1 2 (p - 1) - 1
~X 2 (p - 1) '21, _4
=
(2 p - 1) (2 p - 3) ... 1
- - - - - - - - I o
2p(2p - 2) ... 2
=
(2 p - 1) X (2 p - 3) X ... X 3 X 1
= ------------ ~
2 X p X 2 X (p - 1) ... X 2 X l
= (2 p - 1) X (2 p - 3) X .. . X 3 X 1 fo
2P p X (p - 1) ... X 2 X 1
= (2 p - 1) X (2 p - 3) X . . . X 3 X 1 l
2P p!
O
= 2 p X (2 p - 1) X . . . X 3 X 2 X 1 Io
(2 p) X (2 p - 2) X . .. X 2 X 2P p !
=
(2 p)! 1
(2P p !)2 0
(2 p) ! 1T
=
(2P p !)2 2
(2p) !
1 T - - - -
22 p+ I (p !)2
=
Uo vauq, et (2 p) x (2 p - 2) x ... x 2 = 2" x p x (p - 1) ... x 2 x 1 = 2" p !)
De même:
2p
f2 p+I =
f
2 p + 1 2p- I
2p
2(p - l )l
= 2 p + 1 X 2 p - 1 2 P- 3
=
=
2 p (2 p - 2) ... 2 !1
(2 p + 1) (2 p - 1) . . . 1
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