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Lorsque m et n sont non nuls, et tels que m = n :
r2JT
r 2JT
Jo cos(m t) cos(n t) dt = Jo cos\m t) dt
= (
2
JT l + cos(2 m t) dt
Jo
2
= ~ lt + sin(2mt)J
2
n
2
2m
0
=
1T
. , .
l
1
21.a) Pour tout réel t tel que t * Ï et t * -2 :
4 t 2 - 1 - i { 2 t ~ 1 - 2 t ~ 1 }
21.b) On peut alors calculer :
l
2
4t:~ 1 =
1 (
2
{
1
1 }
2 J 1 2 t - l - 2 t + l dt
1 l l
1
]
2
= - - ln 12 r - l I - - ln 12 t + l I
2 2
2
1
1
=
4
[2 ln 3 - ln 5)
l
9
=
- ln -
4
5
WJW Pour tout entier naturel n, on pose :
!,, = l~ sin'
1 xdx , J,, = l~ cos
11 xdx
22.a)
l
~
1T
On a : Io = lo = dx = - .
0
2
Et:
/1 = fo
1
sinxdx = [- cosx]J = l
11 =li cosxdx = [sinx]J = l
I - l~ . 2 d - l~ 1 - cos(2x)d - l x sin(2x) JÎ _ n
2 -
sm X X -
X -
- -
- -
o .
0
2
2
4
0
4
(~ 2
(~ f + COS(2x) _ _ [-X+ SÏn(2x)l ~ _ _ 1T _
fi= Jo cos xdx = Jo
2
dx
2
4
0
4
22.b) Pour tout entier n;;;: 2 :
!,, =
l~ sin
11 xdx
K o
=
l ' i sin
11
-
2
+
2 x dx
K o
=
l ï sinn2 x sin
2 x dx
" 0
=
l
2
sin"2 x ( J - cos
2 x) dx
= l' sin':_, xdx - r' sin"- 2 X cos 2 xdx
o
Jo
461
Il\
~
~
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- n:s
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