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u
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19.a) Pour calcu ler 1 1 = l"ti 1 d
. ,
.
_ r,--:; x, on peut cons1derer Je changement de vanable :
VI - x 2
x = sin u
L'application u H sin u est de classe C
1 sur [ 0, ~].à valeurs dans [ 0, ~l
On peut donc appliquer le théorème du changement de variable :
1 1 = ( f
1
cosudu= (i -
1
-
1
-
1
cosudu= (i -
1
- cosudu= (
1
du="!._
Jo "11 _ sin2 u
Jo cosu
J 0 cos u
) 0
4
19.b) Pour calculer h = (' _:!__ dt, on peut considérer le changement de variable :
J 0 e' + 1
X= e
1
L'application t H e
1 est de classe C
1 sur [O, 1), à valeurs dans [l, e].
On peut donc appliquer le théorème du changement de variable :
h = [-3:!._ = [ln lx + li]~= ln(e + l) - ln2 = ln(e +
1 )
1 x + 1
2
19.c) Pour calculer h = l~ (sin 2 x - cos
2 x) dx = l~ sin 2 x dx - l~ cos 2 x dx, on peut considérer le changement de variable :
JT
X= - - U
2
L'application u H ~ - u est de classe C
1 sur [o. ~]. à valeurs dans [o. H
O n peut donc appliquer le théorème du changement de variable :
h = J; (cos
2
(~ - u) - sin
2
G-u)) du= - l~ (sin
2 u - cos
2 u)du = - h
Par suite, / 3 = 0, ce qui était prévisible, si l'on remarque que :
li cos
2 x dx = - lo cos 2 G -u) du = li cos 2 G -u) du = lÎ sin
2 u du
2
WJ1i Rappelons les formules d ' addition pour le cosinus:
20.a) Pour tout couple de réels (a, b) :
cos(a + b) =cos a cosb - sin a sinb
20.b) Soient m. et n deux entiers naturels. Lorsque = m. = 0, on obtient :
( 21r
(21r
Jo cos(m. t) cos(n t) dt = Jo dt
= 2n
Lorsque m. et n sont non nuls, et tels que m -::/= n :
l
21r
l2Jr 1
cos(m. t) cos(n t) dt =
- {cos (m. + n) t) + cos (m. - n) t)} dt
0
0
2
=
~ [sin (m + n) t) + sin (m. - n) t)]
2 1r
2
m + n
m - n
0
=
0
460