18.g)
"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Ainsi:
ln l? - t + Il= ln(? - t+ 1) etlnltâ-16 +li= ln(tâ - t6 + 1)
F6 est une primitive de f6· Toute primitive de f6 est donc de la forme:
f ER\ {- 1} H -~ ln lt+ li+~ lnlt2 - t + I l+ _2_ arctan(_2_ ( 1 -~)) + c6
3
6
Y3
Y3
2
où c6 est une constante réelle.
f + 1
fo : R\ {- 2,0,2}- R ,tH 3
2 .
t - 4t
h est définie et continue sur R \ {- 2, 0, 2} - lR : elle y admet donc des primitives.
D ,
f + 1
' I '
. 1
ecomposons - 3
- - en e ements sunp es :
f - 4 f
f + l
f + J
f + 1
Q7
b1
C7
=
=
= - + - - + - -
,3 _ 4,
t(t2 - 4)
t(t - 2)(t+2))
f
t - 2 t+2
où a1, b1, c7 sont des constantes réelles.
Pour déterminer la valeur de a 7 , on remarque que, pour tout t de R \ {- 2, 0, 2} :
t + 1
f + J
b7
C7
1 r3 - 4 r = t2 - 4 = a
7 +
1 t - 2 +
/ t + 2
En passant à la limite lorsque t tend vers 0, on obtient directement :
1
-- = Q7
4
Pour déterminer la valeur de b 7 , on remarque que, pour tout t de R \ {- 2, 0, 2} :
f + ]
f + 1
Q7
C7
(t - 2) - - =
= (t - 2) - + b7 + (t - 2) -
t3 - 4 f
t (t + 2)
t
t + 2
En passant à la limite lorsque t tend vers 2, on obtient directement :
3
8 = b1
Pour déterminer la valeur de c 7 , on remarque que, pour tout t de R \ {- 2 , 0 , 2} :
t + I
t+l
a1
b1
(t + 2) - 3
- - =
= (t + 2) - + (t + 2) - + C7
t - 4 t
t (t - 2)
t
t - 2
En passant à la limite lorsque r tend vers - 2, on obtient directement:
1
- - = C7
8
Ainsi, pour tout t de R \ {-2, 0, 2}:
t+l
1(2 3 1)
r3 - 4 t = 8 - 7 + t - 2 - t + 2
Soit F 7 la primitive de .f8 qui s'annule en t 7 E lR \ {- 2 , 0 , 2):
~ Î (-~ + _ 3 - _ 1 ) du
8 J/ 7 u u - 2 u + 2
l
8 r -2 ln lui + 3 ln lu - 21 - ln lu + 211:7
=
1
3
1
= - 4 (ln ltl - ln 1'71) + 8 (ln lt - 21- ln lt1 - 21) - S (ln lt + 21- ln 1'7 + 21)
F 1 est une primitive de f7 . Toute primitive de h est donc de la forme:
1
3
1
r E R.\ {- 2,0,2}H - 4
ln lt1 +8 1n lt-218
1nlt +21+C1
où C1 est une constante réelle.
459
Il\
::::::1
::::::1
u
- n:s
u