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u
458
Enfin:
1
.
f
1
. ( G6 f
b6 t2 + C6 !)
1m t - - = 1m - - + - - - -
H+oo 1 + t3 H +oo f + 1 t 2 - f + 1
soit : 0 = a6 + b6, ce qui conduit à :
. .
t
1 (
1
f+ 1 )
Ainsi, pour tout t de R. \ {- 1}: - - 3 = - - -- . + 7
·
1 + r
3
t + l r- - t + 1
Soit F6 la primitive de f6 qui s' annule en 16 E IR.\ {- 1} :
! (' (-- 1 + u + l ) du
3 J 16 t + 1 u 2 - u + 1
11
1
1
11
1
u+l
-- - du + -
du
3 16 u + 1
3 16 u 2 - u + 1
1
11
1
u + l
- - [ln lu + 1 IJ: 6 + -
2
. du
3
3 1 6 u - u + l
1
1
1 I u + 1
= -- ln lt + 11 + - ln lt6 + 11 + -
2
du
3
3
3 16 u - u + 1
=
=
Calculons:
! lr u+ l du=
3
u 2 - u + 1
16
! 1
1 ! 2u - l + 3 du
3
2 u 2 - u + l
16
! 1
1 ! 2u - 1 + 3 du
3
2 u 2 - u + l
16
=
11
1
1 2u - l
11
1
3
-
-
du+ -
du
3
2 u 2 - u + 1
6
u 2 - u + 1
16
16
=
1 1
1 1 (u
2
- u + 1 )'
1 1
1
1
-
-
du+ -
du
3 ,6 2 u2 - u + 1
2 16 ( u - 4)2 - ~ + 1
! (!ln lu
2 - u + 11]
1
+ ! ('
;
du
3 . 2
16 2 J 16 (
1)
1
u - - - - +1
2
4
ln 1t2 - t + li - ln lt~ - t6 + 11 1 1
1
1
- - - - - - - - - - + -
du
6
2 '• (u _ ~)'+ ~
ln lt
2
- t + 11 - ln lt
2
- t6 + 11 1 1
1
-
- - - - - - - - - ' - 6 _ _ _ + -
3
du
=
=
=
=
3 u- 2 +1
6
2 16 4 (
1 )
2
= ln 1t2 - t + 11- ln I~ - f6 + 11 + ! ~ ('
1
du
6
23 J16 ( ~ (u -~)r+ 1
= ln 1t2 - t + 11- ln I~ - f6 + 11 + ~ [ Y3 arctan (_2__ (u _ !))],
6
3 2
Y3
2 16
ln lt
2
- t + 11 - ln I~ - t6 + 11
1
( 2 (
1 ))
- - - - - - - - - ' - - - - + - arctan -
t - -
6
Y3
Y3
2
=
- ~arctan(~ (16-l))
II peut être intéressant de remarquer que le discriminant de t2 - t + 1 valant - 3 :
r-t+ l >O Vt ER.