18.e)
18.t)
"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
·~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Soit F 4 la primitive de / 4 qui s'annule en t4 E R :
l ' u
2 e"du
[u 2 e 11 J:~'- l' 2ue"du
l .1
=
= t 2 e
1 - t 2 e
1
' - [2 u e"l' + ri 2 e
11 du
4
~
~
= t
2 e
1
- t: e
14 - 2 te' + 2 f4 e
14 + [2 e"J;,
= t2 e' - r: el' - 2 t e
1 + 2 t 4 e'' + 2 e' - 2 e''
(On intègre deux fois par parties.)
F 4 est une primitive de /4. Toute primitive de /4 est donc de la forme:
t E R H i2 e' - 2 t e
1 + 2 / + C4
où C4 est une constante réelle.
fs : lR \ { ~ + b r, k E z} ~ R, t H tant.
fs est définie et continue sur R \ { ~ +br, k E z} : elle y admet donc des primitives.
Soit Fs la primitive de fs qui s'annule en ts E { 1 + br, k E z} :
Fs(t) =
r tanudu
J, 5
=
=
1
1 sinu d
- - u
15 cos u
t -(cos u)' du
J,, cosu
=
[- In (1 cos ul)]; 5
= - ln (1 cos tl) +ln (1 cos tsD
Fs est une primitive de .fs. Toute primitive de fs est donc de la forme:
t E R \ { ~ + br, k E Z} H - In (1 cos tl) + Cs
où C 5 est une constante réelle.
1
/6 : R\ { - l}~ R,tH - - 3
.
1 + f
/6 est définie et continue sur R \ l- 11 : elle y admet donc des primitives.
f
Décomposons
1
+ , 3 en éléments simples :
f
f
G6
b6 t + C6
=
= - - + - - -
1 + t3
( f + 1) ( t 2 - f + 1 ) t + 1 t 2 - t + 1
où a6, b6, c6 sont des constantes réelles, à déterminer.
Pour déterminer la valeur de a 6 , on remarque que, pour tout t de JR \ {- 1} :
t (t + 1)
f
) b6 t + C6
--- =
=a 6 + (f+ 1
1 + t 3
t 2 - f + 1
t 2 - t + 1
En passant à la limite lorsque t tend vers -1 , on obtient directement :
1
-- = a6
3
D 1
[
f
]
l G6 b6 f + C6 ] . Û
.
d · ,
e p us : - - 1
= -- + 2
, soit : = a6 + c6, ce qui con mt a :
1 + t · t=O
f + 1 t - t + 1 t=O
.
1
C6 = - a6 = -
3
457
Il\
~
~
u
- n:s
u