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u
17.d) On calcule
(2 lnt dt= [ln
2
t]
2
= ln
2
2
J1 t
2 1 2
Ml:I
18.a) / 1 : R.: --+ R., t H ln t.
18.b)
/ 1 est définie et continue sur R.: : elle y admet donc des primitives.
Soit F 1 la primitive de / 1 qui s'annule en t 1 E IR: :
F1(t) =
f
1
lnudu
11
(On intègre par parties.)
= [u ln u]: - r
1 u l du
1
J11
li
= f ln t - t1 ln !1 - rr du
J11
= t ln t - t1 ln t1 - (t - t1)
= t ln t - t + t1 - t 1 ln t1
F 1 est une primitive de / 1 . Toute primitive de / 1 est donc de la forme:
t E JR: H t lnt - t + C 1
où C 1 est une constante réelle.
h : I R: --+ JR, t H ~. fi est définie et continue sur I R: : elle y admet donc des primitives.
t
Soit F2 la primitive de h qui s'annule en t2 E IR: :
F2(t) = (1 ln u du
J12 u
= f,
1
lnu(lnu)' du
1 2 [ 1
JI
= 2 (ln u)2 i2
l 2
l 2
= - ln t - - ln t2
2
2
F 2 est une primitive de fi. Toute primitive de fi est donc de la forme:
l
t E R.: H l ln
2 t + C2
où C 2 est une constante réelle.
18.C) /3 : JR --+ JR, t H t COS f.
f3 est définie et continue sur R. : elle y admet donc des primitives.
Soit F 3 la primitive de f3 qui s'annule en t 3 E Ill :
F3(t) =
f,
1
u cos u du
/ 3
= [u sin u]: 3
- f
1
sin u du
/3
= t sin t - t3 sin t3 - [-cos u]: 3
= t sin t - t 3 sin t 3 + cos t - cos t 3
(On intègre par parties.)
F 3 est une primitive de f3. Toute primitive de / 3 est donc de la forme:
t E Ill H t si n t +cos t + C3
où C3 est une constante réelle.
18.d) /4 : JR --+ JR, t H t
2 e
1
•
/ 4 est définie et continue sur R. : elle y admet donc des primitives.
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