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Lorsque n tend vers +oo :
( 1 + ~ r = e211 ln(l+~) = en(2 ~+o(D) = e2+o(I)
(On a effectué un développement asymptotique à l' ordre 1 en~-)
Ainsi:
(
1 )Il
lim 1 - - = e
2
n->+oo
n
• • • Pour tout entier naturel n, on pose: v 11 =sin (rr Vn 2 + 1 ).
Lorsque n tend vers +oo :
V11 =
sin (rr Vn 2 + 1)
=
sin (nrr R )
=
s+n(1 + ~2n
= sin(nrr(1 + 2 ~ 2 +0(~ 2 )))
=
sin ( n rr + 2
rrn + o ( ~))
= ( - 1 )'
1 cos ( 2
1Tn + o ( ~))
= ( - 1)
11
{i -~ (27TJ
2
+ 0(~2)}
La suite (v 11 ) 11 eN est donc divergente.
MfM Déterminons les trois premiers termes du développement généralisé de la nième racine
strictement positive de l'équation
tanx = x
Étudions, pour commencer la fonction cp :
X E IR \ { ~ + k 1T, k E z} H tan X - X
La fonction cp est dérivable sur tout intervalle de la forme Jn rr - ~, n rr + ~ [, n E N* :
cp' (x) = 1 + tan
2 x - 1 = tan
2 x ;;;,: 0
Pour tout entier naturel non nul n, l' équation donnée admet donc exactement une racine x 11 dans
.
]
1T
1T[
l'mtervalle nrr - 2
, nrr + 2
:
Graphiquement, il est clair que, lorsque n tend vers +oo, cette racine est proche den rr + ~ ; il est
donc légitime de chercher x 11 sous la forme:
1T
X11 = n 1T + 2 + S n
avec : lim s,, = O. Compte tenu de tan x 11 = x, 1 , il en résulte :
11 ~ + 00
tan ( n 1T + ~ + s11) = n 7r + ~ + s11
soit:
sin (nrr + ~ + s11 )
rr
------- = nrr+ - + sn
COS ( n 1T + ~ + S 11 )
2
454