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12.b) Pour tout entier naturel n;;,: no :
110 -J
1 Il
lv11 - .fi = - _L n k=I
JIQ- 1
rt
= n _L (uk-t)+ _L k= I
k=110
12.c)
_L k=I
I no - 1
lim - L (uk - t) = 0
n->+oo n. k= l
li existe donc un rang n. 1 tel que, pour tout entier naturel n ;;,: n. 1 :
110 - I
- I ~ ~
n k=I
12.d) Pour tout entier naturel n;;,: n. 0 :
•••
l
no-1
1 "
1
~
~
e
n - no + e
e
e
lv11 - l'i ~ - L.)uk - t) + - L}uk - t) ~ - +
- ~ - + - = e
n. k= 1
n k=r1o
2
n
2
2 2
Posons alors n 2 = max {no, n.i}. On a alors, pour tout entier naturel n. ;;,: n 2 :
lv11 - li~ e
La suite (v,,),,ew a donc même limite que la suite (u 11 )11eN• .
13.a) Pour tout entier naturel n: a,,+ 1 - b 11 +1 = ao - bo = d. Ainsi, pour tout entier naturel n:
a,, - b11 = ao - ho = d
.
an+!
{ Gn+I }
2
13.b) Pour tout entier naturel n: - b
= - b
=
11+ 1
11+1
2n+I
=r
.
Par suite, pour tout entier naturel n :
On a donc le système :
13.c) Par suite, pour tout entier naturel n :
13.d) On remarque que :
a,,
2"
{
a 11 - b 11 = d
- = r
bn
{
a,, = r~r~' l
b11 = ,.2·d- 1
1 + an = ..!?.!!___ = 1 + ?"
b11
b11+I
Par suite :
ho
P11 = - -
b11+1
La limite de la suite (P,J,,eN lorsque n tend vers +oo est donc 1 ~,. .
Mii Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
(
1 ) 2
11
Un =
l +-;;
453
Il\
~
~
u
- n:s
u