"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
La suite (un) 11 eN est donc une suite arithmétique, de raison 2.
Par suite, pour tout entier naturel n : u" = u 0 + 2 n . La suite (u 11 ),. 1 eN diverge. La convergence
de la suite (a 11 ) 11 eN vers -t en résulte.
• Si a > -~ : le discriminant 6. est strictement positif, l'équation« aux points fixes » admet
deux solutions distinctes t 1 et t 2 :
•
e, = 1 - Yb.
e2 = 1 + Yb.
2
2
Ainsi : lt 1 1 ~ lt2I. Considérons alors la suite (v 11 ) 11 eN définie, pour tout entier naturel n, par:
On obtient:
V11+l
a" - e,
v,. , = --ail - e2
=
=
=
011 + 1 - e,
011 + 1 - t2
a
--- e,
1 + a 11
Cl
- - - e2
a 11 + 1
a
a
- - - - -
1 + a 11
1 + e,
a
a
- - - - -
a 11 + l
l + t 2
1 + l2 C1 - an
- - - - -
1 +e, f2 - an
1 + t2
Un J + f 1
a
f 2
V11 7 f
e,
e,
U11 f2
puisque e, et t2 véri fient respectivement:
e~ + e, - a= 0
e~ + t 2 - a= 0
soit : t1(l +t1) - a=O
t2( l +t 2 )a=O.
L
· < )
d
·
,
, ·
d
·
e,
a smte u 11 neN est one une smte geometnque, e raison e
2
.
( e )
11
Par suite, pour tout entier naturel n : Un = uo e~
Ainsi, comme I ~~ 1 < l, la suite (v 11 ) 11 eN a pour limite 0 lorsque n tend vers +oo. La suite
(a 11 ) 11 eN a donc pour limite l 1 lorsque n tend vers +oo.
Si a < -~ : le discriminant 6. est strictement négatif, l'équation« aux points fi xes » admet
deux solutions distinctes complexes e et e :
1 - iô
t = - -
2
-
1 + iô
t = - -
2
451
Il\
~
~
u
- n:s
u
CV
....
.c
•CV
en
-