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>a.
0
u
Il en résulte, pour tout entier naturel non nul n :
1
- - ln(n + l ) + ln n > 0
n
La suite (H,, - !) est donc croissante.
" 11EN*
Les suites (H,,) 11 eN• et (H,, - ~) sont donc adjacentes : elles convergent vers une
n neN•
même limite y telle que, pour tout entier naturel non nul n :
1
Hn--~y~H11
n
On peut écrire, pour n tendant vers +oo :
Il
1
L k = ln n + y + o(l)
k=I
y est la constante d'Euler, qui vaut approximativmentû.577215.
10.b) Comme H2 = 1 + 4 - ln 2 E JO, l[, et H2 - 4 ~y~ H 2, alors:
Û MIM Soit a un réel différent de - 1. On considère la suite (a 11 ),,eN définie, pour tout entier
naturel n, par :
a 0 =a
a
a11+1 = - -
1 +a,,
Il s'agit d'une suite homographique, vérifiant une relation de récurrence de la forme a 11 + 1 =
a
f(a 11 ). Si la suite converge, sa limi te est un point fixe de la fonction x E R. \ {- 1} H - - . Un
l +x
tel poi nt fixe x est donc solution de x = _ a_ , ce qui conduit à:
l +x
x
2 +x - a=0
Le discriminant est : /1 = l + 4 a. Il faut donc envisager les cas suivants :
.
1
1
.
• St a= - 4 : - 2
est racine double de x
2 + x - a.
1
Considérons alors la suite (u,,) 11 eN définie, pour tout entier naturel n, par : u 11 = - - 1
. On
a"+ ï
obtient:
450
Un +I =
1
l
On+! + ï
1
= - - - - - -
=
=
=
1
1
- - - - + -
4(1 +ail) 2
2 (ail+ 1)
1
a,, + ï
2 (a11 + 4 + 4)
1
a" + ï
1
2+ - - J
011 + Ï
=
2+ U 11