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M:W Le mathématicien italien Leonardo Pisano, dit Fibonnaci, s'intéressa au problème suivant:
«Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien
de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à
compter du troisième mois de son existence?» sous les hypothèses suivantes :
• au début du premier mois, i 1 y a juste une paire de bébés lapins ;
• au bout d'un mois, ceux-ci sont devenus adultes, mais ils ne commenceront à avoir euxmêmes des bébés lapins qu'à partir du début du troisième mois;
• à chaque début de mois, tout couple de lapins adultes susceptibles de procréer engendre
effectivement une nouvelle paire de bébés lapins;
• les lapins ne meurent jamais.
Pour résoudre celui-ci, on considère la suite ('.F, 1 ) 11 eN ' où, pour tout entier naturel n, 'T, 1 représente
le nombre de couples de lapins au début du nième mois.
Il est naturel de poser 'To = 0, puisque, avant que l'on ne dépose les lapins au pied du mur, il n'y
en avant aucun.
Comme il n'y a pas nouvelle naissance avant le début du troisième mois, on a ainsi 'T 1 ='Fi= 1.
L a naissance d'un nouveau couple de lapins au début de ce même troisième mois se traduit par
' T-J = 2.
Considérons désormais un mois n quelconque, avec n ;;i: 2. Au mois n + 2, le nombre total de
couples de lapins est obtenu en ajoutant le nombre de ceux présents au mois n à celui qu ' il y
avait au mois n + 1 :
'.Fi1 +2 = 'T,1+1 + 'FF11
La suite ('T, 1 ) 11 eN vérifie donc une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
8.a) L'équation caractéristique associée à la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée
par la suite ('T, 1 ) 11 eN est : ? = r + 1.
Le discriminant est tJ. = 1 + 4 = 5. li y a donc deux racines réelles distinctes :
1 +vs
2
1 - vs
2
1 +
2
VS est le fameux nombre d'or, habituellement noté
2 = cp + 1, mais aussi: cp = 1 + ~·que l'on obtient en multipliant membre à membre la
1
relation précédente par - . Ainsi : r 1 = cp
r 2 = 1 - cp
li existe donc deux réels il etµ tels que, pour tout entier naturel n :
<1 + VS)"
(1 - VS)"
r. - À_
+µ - - - -
11 -
2n
211
Pour déterminer les valeurs des constantes À etµ, on utilise les conditions initiales : 'To = 0,
r., = . 1, qui conduisent à :
D 'où, finalement: /l = - µ = ~'puis:
r. = _1 (
11 )
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vs 211
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M:W Le mathématicien italien Leonardo Pisano, dit Fibonnaci, s'intéressa au problème suivant:
«Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien
de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à
compter du troisième mois de son existence?» sous les hypothèses suivantes :
• au début du premier mois, i 1 y a juste une paire de bébés lapins ;
• au bout d'un mois, ceux-ci sont devenus adultes, mais ils ne commenceront à avoir euxmêmes des bébés lapins qu'à partir du début du troisième mois;
• à chaque début de mois, tout couple de lapins adultes susceptibles de procréer engendre
effectivement une nouvelle paire de bébés lapins;
• les lapins ne meurent jamais.
Pour résoudre celui-ci, on considère la suite ('.F, 1 ) 11 eN ' où, pour tout entier naturel n, 'T, 1 représente
le nombre de couples de lapins au début du nième mois.
Il est naturel de poser 'To = 0, puisque, avant que l'on ne dépose les lapins au pied du mur, il n'y
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Comme il n'y a pas nouvelle naissance avant le début du troisième mois, on a ainsi 'T 1 ='Fi= 1.
L a naissance d'un nouveau couple de lapins au début de ce même troisième mois se traduit par
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La suite ('T, 1 ) 11 eN vérifie donc une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
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par la suite ('T, 1 ) 11 eN est : ? = r + 1.
Le discriminant est tJ. = 1 + 4 = 5. li y a donc deux racines réelles distinctes :
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Pour déterminer les valeurs des constantes À etµ, on utilise les conditions initiales : 'To = 0,
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