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u
Étudions la suite ( uo E IR et, pour tout entier naturel n : 'Pn+ 1 = ~1 + Si cette suite admet une limite t, alors e vérifie : e = -Yf+ë, ce qui entraîne :
e
2 = 1 + e
c · A d
d d
,
e d
·
1 - YS 1 + YS
e tnnome u secon egre en a met pour racines
2
et
2
.
La racine
1
-/
5 est à rejeter, car la suite (

récursive faisant intervenir une racine canée), sa limite est nécessairement positive.
P
·
· l
·
,
1 + YS ·
· l
b d'
ar suite, si a suite converge, c est vers
2
, qui est aussi e nom re or.
1 +YS
Posons alors :

2
.
Pour tout entier naturel non nul n :
l'P11 - 1 ~] + 'P11- I - =
( ~l + ~l + 'Pn- 1 + (on passe à l'expression conjuguée)
=
=
'P11-J + 1 - 2
~1 + 'P11-I + 'P11-I - ~} + 'P11-I + 1 'Pn-~ -

1 'Pn -; 2
-

1
t +YS
.
,
Comme

2
> 1, il en resulte :
et donc:
446
(puisque 1 - 2
= - (par récurrence descendante immédiate)
lim 11
= +oo
11 ~+ 00
.
1 0
hm - =
n;+oo <.p"

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