"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
• Pour tout entier naturel n ;;;:. 2 :
En = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + (2n - 1) + 2n - (2 + 4 + . . . + 2n)
211
Il
=
Ik-2 Ik
k=I
k=I
2n(2n + l)
n(n +l)
2
- 2
2
n(2n +l ) - n(n + l)
=
n 2
• Redémontrons ce résultat par récurrence :
la propriété est bien vraie au rang 2 : 1 + 3 = 2
2 .
Supposons la propriété vraie à un rang n ;;;:: 2; on a alors :
la propriété est bien vraie au rang 2 : l + 3 = 2
2 .
L 11+ I = 1 + 3 + 5 + . .. + (2 n + 1)
11
I <2k+ 1)
k=I
11-l
= I <2 k + i) + 2 n + i
k=I
n 2 + 2n+l
(n + 1) 2
La propriété est donc vraie au rang n + 1. Comme elle est vraie au rang 2, elle est donc
vraie pour tout entier naturel n ;;;:. 2.
6.a) Soit r un réel positif, strictement plus petit que 1.
On calcule, grâce à la formule donnant la somme des termes d ' une suite géométrique:
Tl
1 - ,.11+ 1
lim ~ / = lim
11-++oo LJ
11-++oo
1 - r
k=O
l
=
1 - r
6.b) Soit p un réel positif, strictement plus petit que 1. On calcule, grâce à la formule donnant
la somme des termes d'une suite géométrique:
11
()
n)
l
. I k ,. p .. - p
1m
p = 1m
11-++oo
11-++ oo
l - p
k= I
=
p
1-p
6.c) On obtient, grâce aux résultats précédents :
n
J
. I 1 2
hm
- = - -
11-++ oo
2k
l - !
k=I
2
= 1
445
Il\
::::::1
::::::1
u
- n:s
u
CV
:r...
.c
•CV
en
-