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>a.
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a pour aire:
(k - 1) k
k
2 +2k( l +2+ . .. +k-l)=k2+2k
2
=k2+k(k- l )k=k3
5.a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n :
fi
(
Il
)2
I k3 = 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 = I k
k=J
k=I.
• la propriété est bien vraie au rang 1 : 1 3 = 1
2 .
• Supposons la propriété vraie à un rang n ;;,,, 1 ; on a alors :
11+1.
Il
.L.k3 =
I k3 + k=l
k=l
=
r . . r
tt k + (n + 1)
3
= (n . 3
2
+(n+ 1)
(n + 1)2 (n
2 + 4 (n + 1))
=
4
(n + 1)
2 (n
2 + 4 n + 4)
=
4
(n+ 1)2(n+2)
2
=
4
=
( (n + 1 )2(n + 2) r
=
(%kr
La propriété est donc vraie au rang n + 1. Comme elle est vraie au rang 1, elle est donc
vraie pour tout entier naturel non nul.
5.b) Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
444
n- 1
xll = 1 + 3 + s + ... + <2 n - 1) = z (2 k + o
k=O