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Il
4.b) En simplifiant le résultat précédent membre à membre par I k
3 , on en déduit:
k= I
Il
Il
z k2 =
zk2
k=O
k= l
= ~{(n+l)3_ 3n(n +l) _ n - 1}
3
2
= l {(n + l )(2n
2
+~n + 2 - 3n - 2}
n(n+l)(2n+l)
=
6
4.c) Redémontrons ce résultat par récurrence :
l X ( 1 + 1) (2 X 1 + l)
• La propriété est bien vraie au rang 1 : 1 3 = 1 = - - - - - - - -
6
• Supposons la propriété vraie à un rang n ~ 1 ; on a alors :
Il
I k2 +en+ 1)2
k=l
(n + l )(n(2n+ 1) + 6n + 6)
=
6
(n + 1) (2 n
2 + n + 6 n + 6)
=
6
(n + 1) (2 n 2 + 7 n + 6)
= - - - - - - - -
6
(n + l)(n + 2) (2 n + 3)
= - - - - - - - -
6
(n+ l)(n+2)(2(n + l) + l)
= - - - - - - - - - -
6
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
Comme elle est vraie au rang 1, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul n.
Il
11
On peut même étendre ce résultat à N tout entier, dans la mesure où : I k
2
= I k
2 .
k=O
k=l
MW Considérons la suite suivante de canés emboîtés les uns dans les autres : le premier carré
a un côté de longueur 1, le second, de longueur 1 + 2, le troisième, 1 + 2 + 3, etc ... Le dernier -
1
d d
,
d
A
,
1 2
fi k n (n + t)
et p us gran es can-es - a one pour cote + + ... + n = LJ ' =
2
.
k= l
n
2 (n + 1)
2
Son aire ..9l est donc égale à : .Jl =
4
. Il est également possible de calculer cette aire en
additionnant celle du carré de longueur 1 et des surfaces en forme d ' «équerre» : la kième équerre,
k- 1
composée d'un carré de côté ketde deux rectangles de côtés respectifs ket 1 + 2+ ... +k- 1 = I j,
j = l
443
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