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Corrigés
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3.a) Pour tout entier naturel n non nul :
S fi = 1 +
2
+
3
+
+ (n - 2) + (n - 1) + n
S fi = n + (n - 1) + (n - 2) + . . .. . . + 3 +
2
+ 1
,
.
~
n (n + 1)
Il en resulte : 2 S 11 = n (n + 1 ), puis : S 11 = L.J k =
2
.
k= I
3.b) Redémontrons ce résultat par récurrence:
• la propriété est bien vraie au rang 1.
• Supposons la propriété vraie à un rang n > 0 ; on a alors :
11 + 1
Il
I k = I k + (n + 1) = n (n + 1) + (n + 1) = (n + 1) ((n + 1) + 1)
k=O
k=O
2
2
La propriété est donc vraie au rang n + 1. Comme elle est vraie au rang 1, elle est donc
vraie pour tout entier naturel non nul n. On peut même étendre ce résultat à N tout
ri
ri
entier, dans la mesure où : I k = I k.
k=O
k= I
4.a) Pour tout entier naturel non nul n :
Il
I 3 +1
k=I
Il
=
I 3 + 3 k2 + 3 k + 1) + 1
k=I
Il
Il
Il.
Il
= I k
3 +3 I k
2 +3 Ik+ I1+1
k=I
k= l
k= 1 .
k=J
n
n
n(n + !)
=Ik
3 + 3Ik2 + 3
2
+ n+1
k=I.
k=I
11+1.
Il
Or: I k
3
= I k
3 + (n + 1)
3 .
k=I
k= I
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