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v
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0
N
@
~
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Ol
ï::::
>a.
0
u
20.a) Rappeler les formules d'addition pour
le cosinus.
20.b) Soient m et n deux entiers naturels.
Calculer:
r2Jr
Jo cos(m. t) cos(n t) dt
(on pensera à distinguer le cas m = n =
0, et, lorsque m et n sont strictement
positifs: m =net m-:;:. n)
21.a) Déterminer deux réels a et b tels que,
l
pour tout réel t tel que t -:;:. 2
et t -:f.
1
2
a
b
- - - = - - + - -
4 t 2 - 1 2 t - 1 2 t + 1
21.b) Calculer:
(
2
dt
J1 4 t 2 - 1
Intégrales de Wallis'
Pour tout entier naturel n , on pose :
In= l~ sin
11 x dx , ] ,, = l~ cos
11 xdx
22.a) Calculer Io, !1 , !2, et lo , li , h.
22.b) Montrer que, pour tout entier n ;;:> 2:
n - 1
f,, = - - ln-2
n
22.c) Pour tout entier naturel p, donner l'expression de 1 2 ,, et h p+J en fonction
dep.
22.d) Montrer que, pour tout entier strictement positif p , et tout x de [ 0, } ] :
0 ~ sin 2 P +l x ~ sin 2 P x ~ sin 2 p -J x
et en déduire une inégalité portant sur
f2p+! , /i µ et f 2 p- I·
22.e) En déduire que, pour tout entier strictement positif p :
22.t)
22.g)
12,,
2p +l
l~ -- ~ --12µ+!
2p
Ji,,
Que vaut lim - - ?
P-+oo /i p+I
En déduire que :
.
1 24p (p !)4
n= hm - - - -
p-+oo p ((2 p) !)2
Pour tout entier naturel n , on pose :
I,, = le (ln x)'
1 dx
23.a) Calculer Io et I1.
23.b) Exprimer, pour tout entier naturel n,
I 11 +1 en fonction de I 11 •
23.c) Montrer que, pour tout entier naturel n :
e
O~In ~ - -
n+ l
23.d) Déterminer la limite, lorsque l'entier n
tend vers + oo, de I 11 •
Intégrales et convexité
Soit f une fonction de classe C
1 sur lR+, à valeurs positives, convexe.
On rappelle que le graphe d ' une fonction
convexe est situé au-dessous de ses cordes,
mais au -dessus de ses tangentes.
24.a) Montrer que, pour tout entier n ;;:> 2 :
JO)
2 + /(2) + ... + f(n - 1)
+1;n) - Ill f(t)dt > 0
24.b) Montrer que, pour tout entier k de
{l, . . . , n - 1) :
r k+l
J(k)
i
jk 2 / (t) dt;;:. ---i- + 8 f' (k)
et:
Î
+l
/(k + 1) 1
f (t) dt ;;:.
- - f' (k + 1)
k+l
2
8
2
l. John Wallis (1616-1703), mathématicien anglais, spécialiste de calcul différentiel et intégral. C'est lui
qui introduisit la notation « oo ».À côté de son œuvre mathématique, il s'intéressa aussi à la phonétique, et
est considéré comme un des précurseurs de l' orthophonie.
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le cosinus.
20.b) Soient m et n deux entiers naturels.
Calculer:
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Jo cos(m. t) cos(n t) dt
(on pensera à distinguer le cas m = n =
0, et, lorsque m et n sont strictement
positifs: m =net m-:;:. n)
21.a) Déterminer deux réels a et b tels que,
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pour tout réel t tel que t -:;:. 2
et t -:f.
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21.b) Calculer:
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Intégrales de Wallis'
Pour tout entier naturel n , on pose :
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22.b) Montrer que, pour tout entier n ;;:> 2:
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22.c) Pour tout entier naturel p, donner l'expression de 1 2 ,, et h p+J en fonction
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22.d) Montrer que, pour tout entier strictement positif p , et tout x de [ 0, } ] :
0 ~ sin 2 P +l x ~ sin 2 P x ~ sin 2 p -J x
et en déduire une inégalité portant sur
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22.e) En déduire que, pour tout entier strictement positif p :
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n= hm - - - -
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Pour tout entier naturel n , on pose :
I,, = le (ln x)'
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23.a) Calculer Io et I1.
23.b) Exprimer, pour tout entier naturel n,
I 11 +1 en fonction de I 11 •
23.c) Montrer que, pour tout entier naturel n :
e
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n+ l
23.d) Déterminer la limite, lorsque l'entier n
tend vers + oo, de I 11 •
Intégrales et convexité
Soit f une fonction de classe C
1 sur lR+, à valeurs positives, convexe.
On rappelle que le graphe d ' une fonction
convexe est situé au-dessous de ses cordes,
mais au -dessus de ses tangentes.
24.a) Montrer que, pour tout entier n ;;:> 2 :
JO)
2 + /(2) + ... + f(n - 1)
+1;n) - Ill f(t)dt > 0
24.b) Montrer que, pour tout entier k de
{l, . . . , n - 1) :
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et:
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l. John Wallis (1616-1703), mathématicien anglais, spécialiste de calcul différentiel et intégral. C'est lui
qui introduisit la notation « oo ».À côté de son œuvre mathématique, il s'intéressa aussi à la phonétique, et
est considéré comme un des précurseurs de l' orthophonie.
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