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12.c) Montrer qu'il existe un rang n 1 tel que,
pour tout entier naturel n ~ n1 :
l 110- I
- I cuk - t) ~ ~
n k=l
2
12.d) En déduire qu'il existe un rang n 2 tel
que, pour tout entier naturel n ~ n 2 :
lori - l'i~ s
Que peut-on en conclure'?
Étude de suites doubles
On considère les suites (all)11EN et (b11)11eN définies par 0 < ao < bo, et, pour tout n de N,
a,?
b/
par : ail+ 1 =
b
bll+ 1 =
b
a11 + "
ail + "
13.a) Calculer, pour tout entier naturel n, la
différence a 11 + 1 - b 11 +1, puis l'exprimer
en fonction de ao et bo. On notera, dans
ce qui suit : d = ao - bo.
13.b) Calculer, pour tout entier naturel n, le
a11+ I
rapport - -.
b,,+1
ao
En posant r = - , montrer que l'on a
bo
alors :
an+ I
2n+1
- - =r
b11+ l
13.c) À l'aide des questions précédentes, exprimer, pour tout entier naturel n, ail et
b,, en fonction de n.
13.d) On considère la suite de terme général
Il
P,, = n (1 + r2k).
k=O
Déterminer la limite de la suite (P 11 )11eN
lorsque n tend vers +oo.
Développement asymptotique
Pour tout entier naturel non nul n, on
pose : u11 = ( l + ~ f"
Déterminer, à l'aide d'un développement
asymptotique, la limite de la suite (u 11 ) 11 eN• .
Pour tout entier naturel n, on pose :
u 11 =sin (n -Yn2+1).
La suite (v 11 ) 11 eN est-elle convergente'?
Développement asymptotique et
solution appr ochée d'une équation
Soit n un entier naturel non nul. Déterminer
les trois premiers termes du développement
généralisé de la nième racine strictement positive de l'équation
tan x = x
Intégration
Quelques calculs simples
17.a) Calculer: L sint costdt.
17.b) Calculer: (ir cos 2 tdt.
J-2ir
17.c) Calculer: fo
1
te' dt.
I
2 lnt
17.d) Calculer :
- dt.
l
t
Calculs de primitives
Déterminer une primitive des fonctions suivantes:
18.a) f 1 : R: -? R, t H ln t.
8 b)
+. . 11l> *
ln t
1 . .t2 · .ll'l.+ -7 R ,t H -f- .
18.c) f3 : R -? R, t H t cos t.
18.d) f4 : R -? R, t H t 2 e'.
18.e) fs : R \ { ~ + k 71', k E z} -? R,
t H tant.
t
18.t) f6 : R \ { - 1} -? R, t H - - 3 .
1 + t
r + l
18.g) h : R \ {- 2,0,2}-? R, f H - 3 - - ·
t - 4t
Cha ngement de variables
Calculer, à l'aide d'un changement de variable, les intégrales suivantes :
19.a) li = r
72
~ dx.
Jo 1 - x 2
l
i
et
19.b) l? = - - dt.
-
0 e'+l
19.c) ! 3 = L~ (sin
2 x - cos
2 x) dx.
439
Il\
~
~
u
- n:s
u