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0
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0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Pour résoudre celui-ci, on considère la suite
('.F,,)nEN' où, pour tout entier naturel n , r,, représente le nombre de couples de lapins au
début du n ième mois.
II est naturel de poser 'To = 0, puisque, avant
que l' on ne dépose les lapins au pied du mur,
il n ' y en avant aucun.
Comme il n'y a pas nouvelle naissance avant
le début du troisième mois , on a ains i 'T 1 =
'Fi = 1. La naissance d'un nouveau couple de
lapins au début de ce même troisième mois se
traduit par: 'T3 = 2.
Considérons désormais un mois n quelconque, avec n ;;,,, 2 . Au mois n + 2, le nombre
total de couples de lapins est obtenu en ajoutant le nombre de ceux présents au mois n à
celui qu ' il y avait au mois n + 1 :
La suite ('.F, 1 ) 11 EN vérifie donc une relation de
récurrence linéaire d ' ordre 2.
8.a) Exprimer, pour tout entier naturel n, r,,
en fonction de n .
8.b) Quelle est la limite de la suite ('.F,,)rrEN ?
Une somme télescopique
On considère la suite (S rr)nEN• définie pour
11
1
tout n de N* par : S 11 = I k ) .
k= lk( + 1
9.a) Vérifier que, pour tout entier naturel
non nul k:
1
1
1
- - - = - - - -
k(k + 1) k k+ l
9.b) Quelle est la limite de la suite (S 11 ) 11 EN• ?
La constante d 'Euler
O n considère la suite (H 11 ) 11 EN* définie par:
1 1
1
V n e N* : H,, = 1 + 2" + ' .3 + . . . + ;; - ln n
Il
1
= I k - lnn
k= I
10.a) Montrer que les suites (H,,)11EN * et
( H - !) sont adjacentes, e t en
11
n nEN*
déduire qu'elles convergent vers une
même limite, que l' on notera y (On
438
pourra utiliser l'étude des variations
des fonc tions f : JR: ~ JR, t H
1 ~ 1 - ln ( 1 + ~) et g : JR: ~ R , t H
~ - ln (i + !). )
t
t
10.b) Montrer que: 0
Soit a un réel différent de - 1. Quel se ns peuton donner à:
a
a
1 + - - - - - -
Q
1+ - - - -
a
1 + - -
1 + . . .
(C'est ce que l' on appelle une «fraction
continue »)
On pourra considére r la suite (a 11 ) 11 EN définie,
pour tout e ntier na turel n, par :
a 0 = a
a
Cl11+! = - -
1 + Cln
Le théorème de Cesàro
Soit (u 11 ) 11 EN* une suite réelle, de limite finie
f E JR.
On considère la suite (v 11 ) 11 EN• telle que :
V n E N* :
u1 + u2 + . . . +u 11
Vn =
n
= ~ f uk
k= I
12.a) Montrer que, pour tout e > 0 , il existe
un rang no tel que, pour tout entier naturel n;;,,, no :
E:
lun - fi~ 2
12.b) Vérifier que, pour tout e ntier naturel
n;;,,, no:
1 n
lvn - f i = - I
0
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Pour résoudre celui-ci, on considère la suite
('.F,,)nEN' où, pour tout entier naturel n , r,, représente le nombre de couples de lapins au
début du n ième mois.
II est naturel de poser 'To = 0, puisque, avant
que l' on ne dépose les lapins au pied du mur,
il n ' y en avant aucun.
Comme il n'y a pas nouvelle naissance avant
le début du troisième mois , on a ains i 'T 1 =
'Fi = 1. La naissance d'un nouveau couple de
lapins au début de ce même troisième mois se
traduit par: 'T3 = 2.
Considérons désormais un mois n quelconque, avec n ;;,,, 2 . Au mois n + 2, le nombre
total de couples de lapins est obtenu en ajoutant le nombre de ceux présents au mois n à
celui qu ' il y avait au mois n + 1 :
La suite ('.F, 1 ) 11 EN vérifie donc une relation de
récurrence linéaire d ' ordre 2.
8.a) Exprimer, pour tout entier naturel n, r,,
en fonction de n .
8.b) Quelle est la limite de la suite ('.F,,)rrEN ?
Une somme télescopique
On considère la suite (S rr)nEN• définie pour
11
1
tout n de N* par : S 11 = I k ) .
k= lk( + 1
9.a) Vérifier que, pour tout entier naturel
non nul k:
1
1
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- - - = - - - -
k(k + 1) k k+ l
9.b) Quelle est la limite de la suite (S 11 ) 11 EN• ?
La constante d 'Euler
O n considère la suite (H 11 ) 11 EN* définie par:
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V n e N* : H,, = 1 + 2" + ' .3 + . . . + ;; - ln n
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10.a) Montrer que les suites (H,,)11EN * et
( H - !) sont adjacentes, e t en
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déduire qu'elles convergent vers une
même limite, que l' on notera y (On
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pourra utiliser l'étude des variations
des fonc tions f : JR: ~ JR, t H
1 ~ 1 - ln ( 1 + ~) et g : JR: ~ R , t H
~ - ln (i + !). )
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10.b) Montrer que: 0
Soit a un réel différent de - 1. Quel se ns peuton donner à:
a
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1 + - - - - - -
Q
1+ - - - -
a
1 + - -
1 + . . .
(C'est ce que l' on appelle une «fraction
continue »)
On pourra considére r la suite (a 11 ) 11 EN définie,
pour tout e ntier na turel n, par :
a 0 = a
a
Cl11+! = - -
1 + Cln
Le théorème de Cesàro
Soit (u 11 ) 11 EN* une suite réelle, de limite finie
f E JR.
On considère la suite (v 11 ) 11 EN• telle que :
V n E N* :
u1 + u2 + . . . +u 11
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n
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k= I
12.a) Montrer que, pour tout e > 0 , il existe
un rang no tel que, pour tout entier naturel n;;,,, no :
E:
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12.b) Vérifier que, pour tout e ntier naturel
n;;,,, no:
1 n
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