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La k ième équerre, composée d'un carré de côté
k et de deux rectangles de côtés respectifs k
k- 1
et l + 2 + ... + k - l = I j , a pour aire :
j=I
k2+2k(l + 2+ ... +k- l)
= k2 + 2 k (k - 1) k
2
= k
2 + k (k - 1) k = k
3
5.a) Démontrer par récun-ence que, pour
tout entier naturel non nul n :
Il
I k3 = 13 + 23 + . . . + n 3
k=I
(
11
)2
=(1 + 2+ . . . +n)
2 = I. k
k=I
5.b) Pour tout entier naturel non nul n, on
pose :
n-1
E 11 = 1+3+ 5+ ... +(2n- l) = I(2k+l)
k=O
• En remarquant que, pour tout entier
naturel n:
E 11 =1 +2+3+4+5 + . . .
+(2n - 1) + 2n - (2+4
211
11
+ . .. + 2n)= zk-2 zk
k= I .
k=I
en déduire : E,, = n
2 .
• Redémontrer ce résultat par récurrence.
Suites : limites, convergence, applications
Des limites remarquables
6.a) Soit r un réel positif, strictement plus
petit que 1. Déterminer
1/.
lim "°' !
11-++oo LJ
k=O
6.b) Soit p un réel positif, strictement plus
petit que 1. Déterminer
Il
lim "°' pk
11--++oo LJ
k= I
6.c) Que vaut
fi
1
lim "°' - ?
11-.+oo LJ 2k
k=I
Le nombre d'or
Étudier la suite (
et, pour tout entier naturel n :
'P11+ I = ~
La suite de Fibonacci
Le mathématicien italien Leonardo Pisano,
dit Fibonaci, s'intéressa au problème suivant:
« Un homme met un couple de lapins dans un
lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau
couple à compter du troisième mois de son
existence? »
sous les hypothèses suivantes :
• au début du premier mois, il y a juste un
couple de bébés lapins ;
• au bout d'un mois, ceux-ci sont devenus
adultes, mais ils ne commenceront à avoir
eux-mêmes des bébés lapins qu'à partir du
début du troisième mois ;
• à chaque début de mois, tout couple de lapins adultes susceptibles de procréer engendre effectivement un nouveau couple
de bébés lapins;
• les lapins ne meurent jamais.
Génération 1 ; au total, un couple de lapins.
l
Génération 2; au total, l + 1=2 couples de lapins.
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Génération 3; au total, 2+2=4 couples de lapins.
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5.a) Démontrer par récun-ence que, pour
tout entier naturel non nul n :
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5.b) Pour tout entier naturel non nul n, on
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n-1
E 11 = 1+3+ 5+ ... +(2n- l) = I(2k+l)
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• En remarquant que, pour tout entier
naturel n:
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Le nombre d'or
Étudier la suite (
et, pour tout entier naturel n :
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La suite de Fibonacci
Le mathématicien italien Leonardo Pisano,
dit Fibonaci, s'intéressa au problème suivant:
« Un homme met un couple de lapins dans un
lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau
couple à compter du troisième mois de son
existence? »
sous les hypothèses suivantes :
• au début du premier mois, il y a juste un
couple de bébés lapins ;
• au bout d'un mois, ceux-ci sont devenus
adultes, mais ils ne commenceront à avoir
eux-mêmes des bébés lapins qu'à partir du
début du troisième mois ;
• à chaque début de mois, tout couple de lapins adultes susceptibles de procréer engendre effectivement un nouveau couple
de bébés lapins;
• les lapins ne meurent jamais.
Génération 1 ; au total, un couple de lapins.
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