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Exercices
Pour s'entraÎner
(solutions p. 442)
Suites
Étude de suites
Étudier la suite (u 11 ) , 1 EN définie par :
UQ = l
UJ = 2 et
V n E N* : U 11 + 1 = 2 Un + 3 U11- I
Étudier la suite (u 11 ) 11 eN définie par:
VO = l
V 1 = - 1 et
V n E N : Vn+2 + Un+) + V11 = 0
Démonstrations par récurrence
Somme des Il premiers entiers naturels, 11 e N
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
Il
S1 1 = I, k.
k= l
3.a) En remarquant que :
s" = 1 + 2 + 3
+ ... + (n - 2) + (n - 1) + n
S,, =
n
+ (n - l) + (n - 2)
+ . . . . . . + 3 + 2 + 1
en déduire que : 2 S 11 = n (n + 1), puis :
S
- 11(11+1)
Il -
2
.
3.b) Redémontrer ce résultat par récurrence.
Somme des 11 premiers carrés, 11 e
4.a) Montrer que, pour tout entier naturel
n+ I
n
non nul n : I, k? = I, (k + 1)
3 + 1.
k = I
k= I
4.b) En déduire que, pour tout entier naturel
. ~ , 2 = n(n + 1)(2n+ 1)
n. L.J /Ç
6
.
k=O
4.c) Redémontrer ce résultat par récurrence.
436
Somme des 11 premiers cubes, 11 e
Considérons la suite suivante de carrés, emboîtés les uns dans les autres :
lO i--------------9
8
7
6 i--------5
4
3 1------.
2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Le premier carré a un côté de longueur 1,
le second, de longueur 1 + 2, le troisième,
1 + 2 + 3, etc. Le dernier (qui est le nième)
- et plus grand des carrés - a donc pour côté
~
n(n + 1)
.
1 + 2 + . . . + n = L.J k = 2
. Son aire
k=I
n2 (n + 1)2
.9l est donc égale à .9l =
4
. Il est
également possible de calculer cette aire en
additionnant celle du carré de longueur 1 et
des surfaces en forme d' «équerre» :
1+2+ ... + k-1
..., _____ ___ ..,._
k+
t - - - - -
: 1+2+ . .. +k-1
t
-- k