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Étant donnée une partie bornée P de R, la fonction caractéristique l 'P de P est
définie par:
Il
{ 1 SÎ XE 'f>
'P : x H
0 sinon
Lorsque Pest un intervalle [a , b] de R, sa mesure de Lebesgue µ ([a , b]) est égale à
sa longueur b - a. Intégrales de Lebesgue et de Riemann coïncident alors; si f est
une fonction intégrable au sens de Riemann :
l
b f(t) dt = ( f dµ
a
J [a,b]
où µ est la mesure de Lebesgue.
Lorsque P est un ensemble dénombrable, fini ou infi ni , il est considéré comme
étant« nul presque partout», et donc de mesure de Lebesgue nulle.
Grâce à l' intégrale de Lebesgue, il est donc possible d'intégrer des fonctions présentant des discontinuités comme, par exemple, la fonction de Dirichlet, qui est la
fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels : Q :
J
{
1 si x rationnel
. XH
Q ·
0
sinon
L'ensemble des rationnels étant donc dénombrable, même s' il est infin i, il est de
mesme de Lebesgue nulle.
Le lecteur intéressé trouvera plus de précisions sur l'intégrale de Lebesgue dans [5],
et sur la théorie de la mesure dans la bibliographie.
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