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Pour une fonction donnée f définie et continue sur un intervalle [a, b] de JR, l'intégrale, dite de Riemann, de a à b de f, correspond à la valeur de l'aire comprise entre
la courbe représentative de f sur [a, b] et l'axe des abscisses.
Cette aire est calculée par l'intermédiaire d'un découpage, de plus en plus fin, de
l'axe des abscisses, c'est-à-dire un découpage vertical de la forme suivante:
a
b
--- ---------- --- ----------r-- -
----------------------r--1
1
1
1
Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue.
Du découpage vertical au découpage horizontal
Toutefois, un tel découpage n'est pas toujours adapté aux fonctions qui interviennent
dans la vie de tous les jours du physicien, du mécanjcien, du biologiste : dans ce
cas, un découpage «horizontal», à partir donc de l'intervalle des valeurs prises par
la fonction, est plus judicieux : c'est l'idée qu'eut le mathématicien Henri-Léon Lebesgue1 .
Bien sûr, toute fonction intégrable au sens de Riemann l'est au sens de Lebesgue.
C'est la réciproque qui n'est pas vraie!
L'intégrale de Lebesgue apparaît alors comme un moyen de« mesurer» une fonction.
1. Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), mathématicien français, dont la contribution à la théorie de l'intégration fut essentielle.
434
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la courbe représentative de f sur [a, b] et l'axe des abscisses.
Cette aire est calculée par l'intermédiaire d'un découpage, de plus en plus fin, de
l'axe des abscisses, c'est-à-dire un découpage vertical de la forme suivante:
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Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue.
Du découpage vertical au découpage horizontal
Toutefois, un tel découpage n'est pas toujours adapté aux fonctions qui interviennent
dans la vie de tous les jours du physicien, du mécanjcien, du biologiste : dans ce
cas, un découpage «horizontal», à partir donc de l'intervalle des valeurs prises par
la fonction, est plus judicieux : c'est l'idée qu'eut le mathématicien Henri-Léon Lebesgue1 .
Bien sûr, toute fonction intégrable au sens de Riemann l'est au sens de Lebesgue.
C'est la réciproque qui n'est pas vraie!
L'intégrale de Lebesgue apparaît alors comme un moyen de« mesurer» une fonction.
1. Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), mathématicien français, dont la contribution à la théorie de l'intégration fut essentielle.
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