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On peut aussi retrouver ce résultat en séparant les sommes, et en effectuant un changement d'indices :
~(~ - k ~ 1) =
k=l
n l
n-l
l
I k-I k+l
k= l
k= l
n 1
n J
Ik-I k
k= I
k=2
=
11- I l
n- l l
l
=l +I- -I- -k=2 k k=2 k n
1
=
1-n
n- I
1
1 (
1)
Ainsi : n ln n - n + 1 ~ I ln k + ~ n + S 1 - ;;, , ou encore :
k=I
11
ln n 1 ( 1)
n ln n - n + 1 ~ I ln k - - + - 1 - -
k=I
2
8
n
soit:
n ln n - n + 1 ~ ln(n!) - - - + - 1 - -
ln(n) 1 ( 1)
2
8
n
puis:
soit:
( 1)
7 1
n + - ln n - n + - - - ~ ln(n !)
2
8 Sn
Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit alors :
exp ((n + ~) ln n -n + 2 - -
1
-) ~ n !
2
8 8n
soit:
On a donc obtenu l'encadrement suivant de n ! :
7
l
n
11 yne-ne 8e-sn ~n! ~en
11 yne-n
433
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