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Il en résulte :
[
+ ~
lnk
1
lntdt ~ -
+ -
k
2
8k
De même, la courbe est située au-dessus de sa tangente en k + 1, pour tout entier k de
{l, . . . ,n -1 }.
. .
[
1
l
Ams1, pour tout t de k + 2 , k + 1 :
t - k - 1
lnt ~ ln(k+ 1) + - - -
k+ 1
On intègre alors cette dernière relation entre k + ~ et k + 1 :
2
i
k+l
ln(k+J)
1 []
2]k+ I
ln t dt ~
+ - - - (t - k - 1)
k+ ~
2
k + 1 2
k+ ~
(Afin de simplifier les calculs, on primitive t H t - k - 1 par t H ~ (t - k - 1)
2 , qui
présente l'avantage de s'annuler en t = k + 1, et se calcule aisément en t = k + ~-)Il en
résulte :
L
k+ L
ln(k + 1)
1
lntdt ~
- - - -
k+!
2
8(k + 1)
2
Il ne reste plus qu ' à sommer les inégalités précédentes pour k = 1, ... , n - 1 :
i
n
ln(l)
Inn 1 n-l (1 1 )
ln t dt ~ - - + ln 2 + ln 3 + ... + ln(n - 2) + ln(n - 1) + - + -
8
~ - - - -
1
2
2
~ k k + 1
soit:
n- 1 (
)
ln 1
ln n 1
1
1
[t ln t - t]'{ ~ - + ln 2 +ln 3 + .. . + ln(n - 2) + ln(n - 1) + - + - ~ - - - -
2
2
8 ~ k k+ 1
.
n- I
ln(n) 1 ll- I (1 1 )
soit: n ln n - n + 1 ~ I ln k + - - + - I -- -- ·
k=l
2
8 k=l k k + 1
ll- I ( 1
1 )
I k - k + 1
est une somme téléscopique :
k= I
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