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On en déduit, en additionnant membre à membre les inégalités ainsi obtenues pour tout
entier k de { l , ... , n - 1 } :
n-1 lk+I
n- 1lnk + ln(k+1)
I
1ntdt ~ I
2
k=I k
k=I
soit, grâce à la relation de Chasles, et en effectuant un changement d'indices dans
n-1
I1nck+ 1):
k= I
l
n
l n-1
l n
lntdt ~ Ï Iln k + Ï I lnk
1
k=I
k=2
n- 1
\:""'
ln n
c'est-à-dire [t ln t - tJ7 ~ LJ ln k + 2
, ou encore:
k=2
fi
lnn
n lnn - n + l ~ LJ lnk - -
k=2
2
[
n l
,..
ln n
,
On reconnatt alors : ln n k = ln(n!) - 2
. TI en resulte:
k=2
Inn
n ln n - n + 1 ~ ln(nl) - -
.
2
puis : (n + ~) ln n - n + 1 ~ ln(n!).
Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit alors :
soit:
ennyne-n~n !
La concavité de la fonctio n logarithme népérien fait aussi que sa courbe représentative
est située en-dessous de ses tangentes : ainsi , pour tout entier naturel k, la courbe est
située en-dessous de la tangente en k, ce qui se traduit par :
t - k
f(t) ~ lnk + - kl
On intègre alors cette dernière relation entre k et k + Ï :
1
k 1
l
k+ ï
1 n k 1 [ 1
2] + 2
ln t dt ~ -
+ - - (t - k)
k
2
k 2
k
(Afin de simplifier les calculs, on primitive t H t - k part H ! (t - k)
2 , qui présente
l'avantage de s'annuler en t = k, et se calcule aisément en t = k + ~ .)
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