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u
qui s'écrit aussi :
1 [n-1 ( b ) n-1 (
b
)]
(b-a) 2
n ~ f a+k :a + ~ f a+(k+ l ) :a
= (b - a)- ' I f a + k~ + ' I f a + k~
1 [n -l ( b )
11
(
b
)]
2n k=O
n
k= I
n
J [
n- I
(
b
)
l
(b - a) 2
n f(a)+2 ~ f a+k :a + f(b)
b -a [f(a)+f(b) + I f (a + kb - a)]
n
2
k=I
n
(On a effectué un changement d' indices dans la deuxième somme, puis regroupé les
termes communs aux deux sommes, c'est-à-dire entre 1 et n - 1).
Graphiquement, on voit bi.en qu'approcher la fonction par les trapèzes ci-dessus permet une meilleure approximation. L'erreur commise (que nous n'étudierons pas ici) est
alors un 0 ( ~ 2 ). ce qui est donc plus précis que pour la méthode des rectangles.
II existe beaucoup de nombreuses méthodes permettant Je calcul approché d' une intégrale. Après la méthode des trapèzes, on trouve, en général, la méthode de S impson
1 ,
qui consiste à approcher la fonction sur l'intervalle d ' intégration par un polynôme quadratique, c'est-à-dire de degré 2, prenant les mêmes valeurs que celle-ci aux bornes de
l'intervalle. Par rapport à la méthode des trapèzes, l'erreur commise est plus faible, dans
la mesure où, graphiquement, on approche la fonction par une courbe et non une droite.
En outre, il est clair qu' une expression polynomiale s' intègre facilement.
3. Une application de la méthode des trapèzes: une variante
de la formule de Stirling
Considérons la fonction logarithme népérien : celle-ci étant concave, sa courbe représentative est située au-dessus des cordes. Ainsi, pour tout entier naturel k, l'aire sous la
courbe entre k et k+ 1 est plus grande que J'aire du trapèze ayant pour sommets les points
de coordonnées respectives (k, 0), (k + 1, 0), (k + 1, f(k + 1 )), (k, f(k)) :
ln(k+l) - - - - - - - - - - - - - - -
k+1
Figure 108.2- La fonction logarithme népérien, et son intégrale entre k et k + 1.
l
k+I
ln k+ In(k+l )
ln t dt ~ - - - - - -
k
2
l. Thomas Simpson (1710-1761), mathématicien anglais, essentiellement connu pour ses travaux sur le
calcul infinitésimal (la méthode de S impson, qui permet un calcul approché de l' aire sous une courbe), mais
qui fut aussi l'auteur d'un important traité de trigonométrie, et à qui l'on doit les formules permettant de
transformer un produit de cosinus ou sinus en somme, et vice versa.
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= (b - a)- ' I f a + k~ + ' I f a + k~
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2n k=O
n
k= I
n
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n- I
(
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l
(b - a) 2
n f(a)+2 ~ f a+k :a + f(b)
b -a [f(a)+f(b) + I f (a + kb - a)]
n
2
k=I
n
(On a effectué un changement d' indices dans la deuxième somme, puis regroupé les
termes communs aux deux sommes, c'est-à-dire entre 1 et n - 1).
Graphiquement, on voit bi.en qu'approcher la fonction par les trapèzes ci-dessus permet une meilleure approximation. L'erreur commise (que nous n'étudierons pas ici) est
alors un 0 ( ~ 2 ). ce qui est donc plus précis que pour la méthode des rectangles.
II existe beaucoup de nombreuses méthodes permettant Je calcul approché d' une intégrale. Après la méthode des trapèzes, on trouve, en général, la méthode de S impson
1 ,
qui consiste à approcher la fonction sur l'intervalle d ' intégration par un polynôme quadratique, c'est-à-dire de degré 2, prenant les mêmes valeurs que celle-ci aux bornes de
l'intervalle. Par rapport à la méthode des trapèzes, l'erreur commise est plus faible, dans
la mesure où, graphiquement, on approche la fonction par une courbe et non une droite.
En outre, il est clair qu' une expression polynomiale s' intègre facilement.
3. Une application de la méthode des trapèzes: une variante
de la formule de Stirling
Considérons la fonction logarithme népérien : celle-ci étant concave, sa courbe représentative est située au-dessus des cordes. Ainsi, pour tout entier naturel k, l'aire sous la
courbe entre k et k+ 1 est plus grande que J'aire du trapèze ayant pour sommets les points
de coordonnées respectives (k, 0), (k + 1, 0), (k + 1, f(k + 1 )), (k, f(k)) :
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l. Thomas Simpson (1710-1761), mathématicien anglais, essentiellement connu pour ses travaux sur le
calcul infinitésimal (la méthode de S impson, qui permet un calcul approché de l' aire sous une courbe), mais
qui fut aussi l'auteur d'un important traité de trigonométrie, et à qui l'on doit les formules permettant de
transformer un produit de cosinus ou sinus en somme, et vice versa.
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