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On reconnaît alors :
l n- I (
k) li
lim - ~ln 1+ - =
ln(l+t)dt=[(t + l)ln(l + t) - t]6=2ln2 - 1
11-++oo n L...J
n
o
k=O
Par continuité de la fonction exponentielle, il en résulte :
1
hm - - =e
= -
. ((2n)!)"
2 1n2- 1
4
11-++oo nn n !
e
2. La méthode des trapèzes
Une alternative à la méthode des rectangles consiste à approcher la valeur d' une intégrale
par la somme d'aires de trapèzes, qui, graphiquement déjà, sont plus proches de la courbe
que les rectangles précédents.
On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze:
(grande base+petite base) x hauteur
2
Ainsi, en considérant la suite des trapèzes de bases respectives f (a + k b~a ) et
. (
b-a) ,
b - a -
.
j a + (k + 1) - , de hauteur - - , k - 1, 2, .. . , n - 1 .
n
n
y
a
b-a
f ( a + k - n-)
b- a)
f ( a +( k + 1) - nb-a
b - a
b
a + k-n- a + ( k + l ) -nFigure 108.1- La méthode des trapèzes.
L' intégrale Lb f(t) dt est alors approchée par :
n-1 f (a+ k b-a) + f(a + (k + 1) b-a)
(b - a) ~
n
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2n
k=O
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