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Considérons le cas d'une fonction de classe C
1 ; d'après l' inégalité des accroissements
[
b - a
b - al
finis, pour tout k de 10, 1, ... ,n - l}, et tout t de a+ k-n-,a + (k + 1)-n- :
l
f(t) - f (a + k b - a)I ~ (t - a - k b - a) max lf'I
n
n
1E(<>.bl
on a alors:
rb
b
11-l
(
b
)
Ja f(t) dt - : a ~ f a + k : a
n- 1
a+(k+ 1) b- <1 (
b
)
~ maxlf'I Il n t - a - k~ dt
IEj<1,bl
a+k b - u
n
k=O
n
= max lf'I I [! (t - a - k b - a)2]a+(k+t) &~"
/E(a.b l
2
n
b a
k=O
a+k -7
n- l 1 (b - a)2
=
maxlf'I ~ - - -
1E[a.b l
L...J 2 ft2
k=O
(
)
2 11- I
max If' 1 ! b - a ~ 1
re l'a,bl
2
n2
L...J
k=O
=
max lf
'I (b - a)2
rE(a,b]
2 n
(Pour simplifier le calcul, on a choisi de pnm1t1ver t H
t - a - k b - a par
l (
b - a )
2
1
b - a
n
t H -
t - a - k - - au lieu de t H - t2 - a t - k - - t, afin d'obtenir la valeur 0
2
n
2
n
en a + k b~a, et de simpl ifier le calcu. 1 en a + (k + l ) b~a !)
L'erreur commise est donc un 0 (fi).
Il est également possible d'obtenir cette majoration en appliquant, tout simplement, la formule
de la moyenne.
Exemple
(
(2 n)!)~
Déterminons la limite, lorsque n tend vers +oo, de - - .
n
11 n!
On a:
428
(
(2 n)!) ~ =
nnn!
=
=
(
1 1
(2 n)!)
exp - n - -
n
n" n!
(
1
1 X 2 X . . . X (2 n) )
exp - l n - - - - - -
n
n"lx2x . .. xn
(
1 1
(n + l)x(n+2)x .. . x(2n))
exp - n
n
n
11
= exp (~ 1n(1 +~)x(1 + ~)x .. . x(1 + ~))
=
[
J
n- I (
k)]
exp ~ln [J 1 + ~
=
[
1 n- I ( k)]
exp ~~ln 1 + ~