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Calcul approché d'intégrales
1. La méthode des rectangles
~ Le calcul approché en lui-même
La méthode des rectangles, qui consiste à approcher la valeur d' une intégrale par la
somme des aires de rectangles situés sous la courbe, utilise tout simplement les sommes
de Riemann vues précédemment; pour l'intégrale d'une fonction f continue par morceaux sur un intervalle [a, b] de R, on commence donc par diviser [a, b] en n sousb - a
intervalles, de longueur--.
n
On choisit ensuite de considérer :
• soit les rectangles de hauteur f (a + k b~a ), k = 0, 1, ... , n - 1, et de largeur b : a.
L'intégrale Lb f (t) dt est alors approchée par :
b - a ~ (
b - a)
- - L.Jf a+k-n k=O
n
• soit les rectangles de hauteur f (a+ k b~a ), k = 1, ... , n, de largeur b: a. L'intégrale
Lb f(t) dt est alors approchée par :
b - a ~ (
b-a)
- - L.Jf a + k - -
n k= l
n
~ Étude de l'erreur commise
Au-delà du calcul approché, il peut être intéressant de quantifier l'erreur ainsi commise,
en valeur absolue. Pour la première configuration, elle est donnée par :
L
b
b
n-I
(
b
)
f(t)dt - ~ L:J a+k~
a
n k=O
n
11-I La+(k+ I) b~a
b - a n-1 ( b - a)
= I
f(t)dt - -
L:1 a + k -
k=O a+k b~"
n k=O
n
11- l [
+(k+ l ) b~a (
(
b _a))
=
I
1ct) - 1 a + k - - dt
~k ~
n
k=O
n
11-l [
+(k+ I) b~" I
( b _ a)I
~
I
tct) - 1 a + k - - dt
k=O a+k b~"
n
427
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