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Fonctions puissances entières
1. Puissances entières
1. Étant donnés un entier naturel non nul net un réel a, a
11 est égal au produit den
facteurs égaux à a :
a" = axaxax ... xa (nfois)
2. Étant donnés un entier relatif strictement négatif k E Z~, et un réel non nul a, ak
est égal à l' inverse de a-k :
3. Pour tout réel non nul a : a 0 = 1.
Propriété
k
1
a = -
a-k
Soient a, b des réels et n, p des entiers. On suppose a, b non nuls chaque fois que
1 'exposant est négatif ou nul. A lors :
a
11 aP = an+p
a
11 b
11
= (ab)n
an = (~)n
b
11
b
Démonstration : Les propriétés du produit dans IR permettent de justifier simplement
les formules précédentes.
•
2. Fonction puissance
Étant donné un entier relatif k non nul, la fonction qui, à tout réel x non nul , associe/,
est une fonction puissance.
>- Parité des fonctions puissances
Soit n un entier naturel non nul n. La fonction qui, à tout réel x, associe x
1 , a la même
parité que l'entier n.
La fonction qui, à tout réel x non nul , associe X1
1, a la même parité que l'entier n.
Exemples
1. La fonction qui , à tout réel x associe x5, est impaire.
2. La fo nction qui, à tout réel x associe x
4 , est paire .
>- Sens de variation des fonctions puissances
Soit n un entier naturel non nul. Alors :
i. La fonction qui, à tout réel x, associe _x2n, est décroissante sur ] -oo, 0] et croissante
sur [0, +oo[.
11. La fonction qui , à tout réel x, associe .x2
11 + 1 , est croissante sur IR =] - oo, +oo[.
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