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Fonctions périodiques
1. Période
Soit f une fonction définie sur un domaine 1Jf de R, et T un nombre réel non nul tel
que, pour tout réel x de V.r :
x+T E 1)f
La fonction f est dite T-périodique si, pour tout réel x de son domaine de définition V.r :
f(x + T) = f(x)
T est une période de f .
y
Figure 13.1- Le graphe d'une fonction périodique.
Si f est une fonction pé1iodique et si T et T' sont des périodes de f telles que
T + T'-::/= 0
alors - T et T + T' sont aussi des périodes de f.
2. Période fondamentale
Soit f une fonction périodique. Si l'ensemble des périodes strictement positives de fa
un plus petit élément To, celui-ci est appelé période fondamentale de f (la notion de
plus petit élément n'ayant pas été définie, on peut supposer que c'est une période qui
est plus petite que toutes les autres; mais il reste à montrer qu'elle existe). Toutes les
périodes de f sont alors de la forme n To, n E Z.
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Pour étudier une fonction périodique de période T, il suffit de se placer sur un intervalle Ir
de longueur (ou d'amplitude) T. La courbe représentative de la fonction est alors obtenue en
«recopiant le motif» obtenu sur Ir !