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Primitives de fractions rationnelles
1. Détermination d'une primitive
Connaître la décomposition en éléments simples d'une fonction (réelle) «rationnelle »
permet d'en déterminer facilement une primitive:
• lorsque la fonction est de la forme x E R \ {xo} H _ œ _ ' a E R, xo E R, une
x - xo
primitive est:
x E R \ {xo} Ha ln lx - xol
• lorsque la fonction est de la forme x > xo H ( œ ) . = a (x - xo)-s, a E R, xo E R,
x - xo s
s E R , s -:/= 1, une primitive est :
a
. 1-s
a
x > xo H - - (x - xo)
= - - - - - -
1 - s
(1- s)(x - xo)s- 1
œx+/3
• lorsque la fonction est de la forme x E R H
2
À.
, (œ,f3, À.,µ) E R
4 ,
X + x + µ
,t 2 - 4 µ < 0, il est intéressant de remarquer que :
œ 2x+À.
/3 - Aa
œ 2x+À.
/3 - t1a
-
+
2
=+
2
2 x2 + À. X + µ x2 + il X + µ 2 x 2 + il X + µ (X + n
2 + µ _ ~
2
=
/3 - df
,i2
œ 2x+À.
µ - 4
-
+ - - - - -
2 x2 + À. X + µ (X + ~) 2
- - - + l
,i2
µ - 4
U
. . .
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ax+f3
c
ne pmrut1ve de x E ~ H 2
est alors de la ionne :
X +ilx+ µ
a
f3 -l!! g 2
[ x+d. l
x E R H - ln l x2 + À. x + µI + ,~ 2 µ - - arctan R
2
0
2
µ - -
4
,l4
µ - 4
c'est-à-dire
/3 -fo
[ x+d. l
x E R H ~ ln lx
2 + À x + µI + - -
2
-
arctan
2
R
~µ- ~
425
Il\
~
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- n:s
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