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>- Intégrale et parité
Propriété
Soit a un réel positif, et f une fonction continue et paire sur l' intervalle [- a, +a].
Alors:
f
a J(t) dt = 2 [ . J(t) dt
a
0
y
-a
a
- 1
Figure 106.1 - L'intégrale d'une fonction paire.
Démonstration: On décompose tout simplement l' intégrale à l'aide de la relation de
Chasles, puis on effectue un changement de variable :
[ f(t) dt = J: f(t) dt + r. f(t) dt
= f,
0
f( - t) (-dt) + J:
1
f(t) dt
= - [ f(t) dt + La f(t) dt (f étant paire : f( -t) = f(t))
= La f(t) dt + r. f(t) dt
= 2 r. f(t)dt
•
>- Intégrale et imparité
Propriété
Soit a un réel positif, et f une fonction continue et impaire sur l' intervalle [- a, +a].
Alors :
J: f(t)dt = o
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