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>- Changement de variable
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle l de IR, et <. p une fonction de classe C
1 sur
un intervalle J de IR telle que :
<.p(J) ç I
Alors, pour tout couple de réels (a,{3) E 1 2 :
L
-{3
L f ( <.p(t)) l.{J
1 (t) dt =
f (t) dt
a
Démonstration : f étant continue sur l, elle possède au mo. ins une primitive F sur l .
Par dérivation composée :
(F o <.p)' = f o <. p.<.p'
f o <.p.<.p' est continue sur J , comme produit de fonctions continues sur J. En intégrant de
a à {3, on en déduit :
soit :
ou encore:
qui s'écrit aussi :
mais également :
D' où le résultat !
Exemple
r. (F o <. p )' (t) dt = r. (f o <.p) (t).<.p' (t) dt
[(Fo<.p)(t)]~ = r. (f o<.p)(t).<.p'(t)dt
F (<.p(f3)) - F (<.p(a)) = r. (f o <.p)(t).<.p'(t) dt
[F(t)]:~ = r. (f o <.p) (t) .<.p' (t) dt
[
(/3)
L >/ 3
f(t) dt = (f 0 <.p) (t) .<.p' (t) dt
ip(œ)
œ
•
Considérons l' intégrale T = fo
1
e' Ve'+ 2dt. JI est judicieux d'effectuer le changement de
Variable e
1
= U. L'application t H e
1 est de classe C
1 .
On peut donc appliquer le théorème du changement de variable :
J
- r,v::;
J
[
-~
Ie ' 2 [ 3Je 2 (e+2) ï - 2 v27 2 (e+2) ï -~
l=
vu+2du =
(u+2) ï du= - (u + 2)ï =
=
- 2 v3
.
J
3
1
3
3
422