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Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] de R, et F une primitive de f. Alors :
Lb f(t) dt = F(b) - F(a)
On notera: [F(t)]~ = F(b) - F(a).
3. Propriétés
>- Intégration par parties
Théorème
Soient f et g deux.fonctions de classe C
1 sur un intervalle [a, b] de R
Alors:
Lb f(t) g' (t) dt = [f (t) g(t) ]~ - Lb f' (t) g(t) dt
Démonstration : Les fonctions f et g étant de classe C
1 sur [a, b], il en est de même de
leur produit f g. De plus, pour tout réel t de [a, b] :
(f(t) g(t))' = f(t) g' (t) + f' (t) g(t)
f et g étant de classe C
1 sur [a, b], les fonctions f g' et f' g sont continues sur [a, b], et
donc intégrables :
Lb (f(t) g(t))' dt = Lb f(t) g' (t) dt+ Lb f' (t) g(t) dt
soit:
rf (t) g(t) i~ = Lb f(t) g' (t) dt + Lb f' (t) g(t) dt
a
a
D'où le résultat.
Exemple
Soit x un réel st1ictement positif. Alors :
Ix ln(t) dt= Ix ln(t) l dt
I
X 1
= [Jn(t) t]f -
- t dt
l
t
I
X l
= [ln(t) t]f -
- t dt
l
f
= x ln(x) - Ix dt
= x ln(x) - (x - 1)
= x ln(x) - x + 1
•
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