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Ol
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>a.
0
u
Soit s > O. f étant continue en xo, il existe un réel T/x tel que, pour tout x vérifiant
lx - xol ~ T/x :
lf(x) - f(xo)I ~ s
Par suite, pour un tel x vérifi ant x > x 0 :
rx f(t) dt - rxo f(t) dt
1
F(x) - F(xo) _ f(xo) I = Ja
Ja
x - xo
x - xo
(x - xo) f (xo)
X - Xo
=
=
=
=
rx f(t) dt + ( " f(t) dt
Ja
Jxo
f(xo) rx dt
Jxo
x - xo
x - xo
I~" f(t) dt I: f(xo) dt
X - Xo
X - XQ
I: f(t) dt f (xo) I~" dt
x - xo
x - xo
l
x (f(t) - f(xo)) dt
Xo
x - xo
I~'( lf(t) - f(xo)I dt
lx - xol
l
x sdt
Xo
lx -xol
A
,
•
1 F(x) - F(xo)
1
De meme, pour un tel x venfi ant x < xo :
- f(xo) ~ s .
x - xo
= s
Le réel s étant quelconque, il peut être choisi aussi petit que possible. Il en résulte :
1
. F(x) - F(xo)
f( )
tm
= xo
X-HO
X - XQ
soit F' (xo) = f(xo), qui est le résultat cherché.
•
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR, et a un réel appartenant à /.
Pour tout réel C, il existe une unique primitive de f prenant en a la valeur C. C'est
l'application :
l --+
R
X H C + Lx f (t) dt
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