"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Calcul intégral
1. Primitives
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle Ide R Une fonction F, dérivable sur I,
est une primitive de f sur I si et seulement si :
F' = f sur I
Propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Alors, les primitives de f sur I
diffèrent toutes d'une constante.
Démonstration: Soient F 1 et F1 deux primitives de f sur I:
F~ = F;
ce qui conduit à :
F~ - F; = 0
soit:
(F1 - F2)' = 0
Il en résulte :
F1 - F2 =Fonction à valeur constante sur I
qui est le résultat cherché.
•
Ainsi, si F est une primitive sur I de la fonction f, alors, pour tout réel K, la fonction t E
I H F(t) + K est aussi une primitive de f sur I, ce qui est assez logique, dans la mesure où la
dérivée d'une fonction constante est nulle!
2. Le théorème fondamental de l'analyse
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR, et a un réel appartenant à !.
L'application de I dans lR, qui, au réel x de / , associe Lx f(t) dt, est une primitive de f
sur! .
Démonstration : Désignons par F la fonction qui, à tout x de /, associe Lx f(t) dt.
Il s'agit donc de montrer que, pour xo donné dans / , F est dérivable en xo, avec
F'(xo) = f(xo).
419
Il\
~
~
u
- n:s
u