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soit:
m(b - a)~ Lb f(t)dt ~ M(b- a)
>- Formule de la moyenne
Théorème
•
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] de R On suppose que la
fonction g est à valeurs positives :
Vt E [a,b] : g(t);;;: 0
Alors, il existe un réel c dans l'intervalle [a , b] tel que :
Lb f(t) g(t) dt = f(c) Lb g(t) dt
Démonstration : f étant continue sur [a , b] , il existe deux réels met M tels que, pour
tout t de [a, b] :
m ~ f(t) ~ M
la fonction g étant à valeurs positives, il en résulte, pour tout t de [a, b] :
m g(t) ~ f(t) g(t) ~ M g(t)
Par croi.ssance de l'intégrale, il en résulte :
Lb m g(t) dt ~ Lb f(t) g(t) dt ~ Lb M g(t) dt
soit:
m Lb g(t) dt ~ Lb f(t) g(t) dt ~ M Lb g(t) dt
Si Lb g(t) dt = 0, n' importe quel c de [a, b] convient.
Si Lb g(t) dt * 0, on peut diviser membre à membre par Lb g(t) dt :
Lb f(t) g(t) dt
m~
b
~M
r g(t) dt
Ja
Le théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'en déduire l'existence d' un réel c
de [a, b] tel que:
r. f(t) g(t) dt
f(c) = _ a _ b _ _ _
L g(t)dt
ce qui conduit au résultat cherché.
•
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