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b
Figure 105.5- Illustration graphique de la rel ation de Chasles pour l' intégrale d' une fonction
continue par morceaux.
Alors, si Lb f(t) dt = 0, la fonction f est nulle sur [a, b] :
{/
Vt E [a,b] : f(t) = 0
>- Inégalité de la moyenne
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] de R
On note:
m = inf f(t)
M = supf(t)
1€fa.b]
t<:[a.b l
Alors:
m (b - a) ~ Lb f(t) dt ~ M (b - a)
a
y
0
a
b
Figure 105.6- Illustration graphique de l'inégalité de la moyenne pour l'intégrale d 'une fonction
continue sur un intervalle [a, b] .
Démonstration : La démonstration ne fait que formaliser les explications de la figure
ci-dessus.
Par hypothèse, pour tout t de [a, b] :
m ~ f(t) ~ M
La croissance de l' intégrale permet d'en déduire :
Lb mdt ~ [ f(t)dt ~ Lb M dt
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