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>- Sommes de Riemann, dans le cas d'une subd ivision uniforme
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] de R
Alors:
b - a n
(
b - a ) Lb
lim - - ~ f a + k - -· =
f(t)dt
n-+~ n ~
n
a
k= I
1
J.
j
J
J.
"'
.l
J
0
y
Figure 105.3- Illustration graphique de la limite d'une somme de Riemann.
Ce résultat, que l' on ne démontrera pas dans ce cours, se comprend assez facilement de façon
. . . d
1
, 1
b- a ~ f ( k b - a) ,
. 1
111tmt1ve, ans a mesure ou a somme - - L; a+ , - - represente tout s1mp ement
n k= l
n
la somme des aises des rectangles de longueur b - a, et de hauteur f (a + k b-a ).
n
"
2. On a présenté, dans ce qui précède, le cas d'une subdivision uniforme de l' intervalle [a, b].
Les sommes de Riemann ne se limitent pas à ce seul cas, et restent encore valables pour des
subdivi sions non uniformes, sous la condition bien sûr que le pas de celles-ci tende vers zéro
lorsque n tend vers +oo.
4. Propriétés
>- Linéarité
Étant donnés deux fonctions f et g continues par morceaux sur un intervalle [a, b] de JR,
et un réel À:
Lb (f(t) + À g(t)) dt = Lb f(t) dt+ À Lb g(t) dt
>- Positivité
Étant donnée une fonction f continue par morceaux sur un intervalle [a, b] de JR, à valeurs positives :
rb J(t)dt;;.: o
Ja
415
Il\
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