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La croissance de la suite (

le fait que, pour tout entier naturel n, et tout t de [a, b] :
<,On(t) ~ 'Pn+ 1 (t)
t/111+ 1 (t) ~ t/Jn(t)
On dit alors que .f est limite uniforme des suites (<,011)nEN et (t/Jn) 11 EN·
y
-1
- 1
Figure 105.2- Approximation d'une fonction par une fonction en escaliers.
~
L'intérêt du théorème précédent est d'étendre la notion d'intégrale vue pour les fonction s en
~
escaliers aux fo nctions continues par morceaux.
~
V
>- Un cas particulier intéressant de limite uniforme : le théorème de Weierstrass
Théorème
Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme, sur ce segment, d'une suite
de polynômes.
3. Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] de IR. Alors, pour
toute suite de fonctions en escaliers (cp 11 ) 11 EN dont f est limite un iforme, la suite
( rb <,On(t) dt) est convergente, et ne dépend pas du choix de la suite (<,011),zEN · La limite
Ja
nEN
de la suite ( rb <,On(t) dt) est appelée intégrale de a à b de f ' et notée rb f(t) dt.
L
~N
L
Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] de R Alors :
r.
1 (t) dt = - rb J(t) dt
b
Ja
Cela vient simplement du fait que l'intégrale J;,a f(t) dt correspond à une aire comptée négati -
vement.
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