"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Intégrale d'une fonction continue
par morceaux
1. Définitions
>- Fonction continue par morceaux
Une fonction f, défi nie sur un intervalle [a , b] de IR, est dite continue par morceaux
sur [a, b] s' il existe une subdivision i de {0, 1,2, ... ,n - l }, la restriction fiJx;,x;+ i[ à l' intervalle ] xi,Xi+ t[ soit continue sur
]xi , Xi+I [,et prolongeable par continuité en Xi et Xi+ I ·
y
-1 0
- 1
Figure 105.1 - Le graphe d'une fonction continue par morceaux.
>- Subdivision adaptée à une fonction continue par morceaux
Étant donnée une fonction f continue par morceaux sur un intervalle [a, b] de IR,
une subdivision a- = {xo, x 1 , ••• , Xn l de [a, b] est dite adaptée à f si, pour tout i de
{0, 1, 2, .. . , n - 1 }, la restriction f lJx; ,xi+i l à 1' intervaJle ] x i , Xi+ I [est continue sur ]xi , Xi+I [,
et prolongeable par continuité en Xi et x;+ 1 . .
2. Approximation d'une fonction continue par morceaux
par des fonctions en escaliers
Théorème
Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a , b] de R Alors, il existe
deux suites, respectivement croissante et décroissante, de fonctions en escaliers ( et (l/Jn) 11 eN• et un entier naturel no tels que, pour tout entier naturel n ~ no, et pour tout t
de[a, b]:
1
n
413
Il\
~
~
u
- n:s
u