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Intégrale d'une fonction en escaliers
1. Définitions
>- Subdivision d'un intervalle
Étant donnés un intervalle [a, b] de R, et n un entier naturel non nul, on appelle subdivision de [a, b] tout ensemble cr de réels lxo, x 1 , . •• , Xn} tel que :
xo = a < xi < x2 < . .. < X11-1 < Xn = b
x 0 = a x1 x 2
x,,= b
Figure 104.1- Une subdivision de l'intervalle [a, b].
Le pas de la subdivision est :
lcrl = S up {xi - Xi- 1, 1 ~ i ~ n}
>- Subdivision régulière
Une subdivision cr est dite régulière si elle est de pas constant.
Xn= b
Figure 104.2- Une subdivision régulière de l'intervalle [a, b].
>- Finesse
Étant donnés deux entiers naturels non nuls n et p , et deux subdivisions
CTx = {xo, xi, . . . , Xn} et cr y = {yo, Yi, . .. , Yp} d'un intervalle [a, b] c R, la subdivision
cr x est dite plus fine que cr 11 si :
IY0,Y 1, ... ,yn} ç; {xo,x1 , . . .,xp}
>- Fonction en escalier
Une fonction f, défi nie sur un intervalle [a, b] de R, est dite en escaliers sur [a, b]
s' il existe une subdivision cr = {xo,x 1 , • .. ,xn} de [a,b] telle que, pour tout ide
{O, 1, 2, . .. , n - 1 }, f soit constante sur ]xi, Xi+ 1 [ •
>- Subdivision adaptée à une fonction en escaliers
É tant donnée une fonction f en escaliers sur un intervalle [a, b] de R, une subdivision
cr = lxo,x i , . .. , Xn} de [a, b] est dite adaptée à f si , pour tout ide 10, 1, 2, ... , n - 1 }, f
est constante sur ]xi, Xi+ 1 [.
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